f(x)= \begin{cases}x^{2}-4 x & \text { se } x \geqslant 0 \\\\ -x^{2}-4 x & \text { se } x<0\end{cases}
Passo 1
O enunciado dá a função por partes definida em \mathbb{R}\):
\[f(x)= \begin{cases} x^{2}-4x & \text{se } x\geqslant 0,\\[4pt] - x^{2}-4x & \text{se } x<0. \end{cases}
O que se pede: construir (esboçar) o gráfico de f\] em todo \(\mathbb{R}. Informações relevantes que temos no enunciado:
A expressão para x\geqslant 0 é \,x^{2}-4x.
A expressão para x<0 é \,-x^{2}-4x.
A função está definida para todos os reais, mas cada expressão vale em um intervalo distinto (à direita ou à esquerda de 0).
Em x=0 temos que usar a definição para x\geqslant 0 (ou seja, o ponto x=0 pertence ao ramo x^{2}-4x).]
Passo 2
Analisando o ramo direito (x\geqslant 0): a expressão é
f(x)=x^{2}-4x.
Vamos entender essa parábola com calma. Primeiro complete o quadrado para encontrar vértice:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Isto mostra que o vértice da parábola é o ponto (2,-4) (porque a forma (x-2)^{2}-4 tem mínimo igual a -4 quando x=2). Informações úteis para desenhar:
A parábola abre para cima (coeficiente de x^{2} é positivo).
Vértice: (2,-4).
Interseção com o eixo x (raízes): resolva x^{2}-4x=0\Rightarrow x(x-4)=0, então x=0 e x=4. Ambos pertencem ao domínio deste ramo? x=0 pertence (já que temos x\geqslant 0), x=4 também pertence.
Valor em x=0: f(0)=0^{2}-4\cdot 0=0. Assim o ponto (0,0) pertence ao gráfico por este ramo.
Isto mostra que essa parábola tem vértice em (-2,4) e abre para baixo (porque há um sinal negativo na frente de (x+2)^{2}). Informações úteis:
Vértice: (-2,4), que é um máximo local para esse ramo.
Interseções com o eixo x: resolva -x^{2}-4x=0\Rightarrow -x(x+4)=0, então x=0 e x=-4. Para este ramo só valem x<0, logo x=-4 pertence e x=0 não (é limite pela esquerda).
Valor aproximado em x=0^{-}: \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0 (substituindo x=0 na expressão dá 0, porém o ramo esquerdo não inclui x=0).
Comportamento para x\to -\infty: f(x)\to -\infty (porque -x^{2} domina negativamente).
Passo 4
Verificações de continuidade e pontos importantes de conexão:
O ramo direito dá f(0)=0 com ponto incluído (0,0).
O ramo esquerdo tem limite à esquerda \lim_{x\to 0^-}f(x)=0, mas não inclui (0,0) por ser x<0. Como o ramo direito inclui (0,0), o gráfico fica com um ponto preenchido em (0,0) e, visualmente, não há salto: a função é contínua em x=0.
As raízes da função no conjunto todo são \,x=-4,\,x=0,\,x=4.
Os vértices são (-2,4) (máximo do ramo esquerdo) e (2,-4) (mínimo do ramo direito).
Passo 5
Pontos práticos a plotar (traçe esses pontos e faça as curvas parabólicas nos respectivos lados):
Para o ramo esquerdo (x<0):(-4,0),\;(-2,4),\;(-1,3)Observação: calculei f(-1)=-(-1)^{2}-4(-1)=-1+4=3.
Desenhe a parábola que passa por esses pontos e que abre para baixo, válida somente para x<0. Em x=0 deste ramo deve ficar uma bolinha aberta (não incluída), mas como o ramo direito inclui (0,0) o gráfico aparece ligado.
Para o ramo direito (x\geqslant 0):(0,0),\;(1,-3),\;(2,-4),\;(3,-3),\;(4,0)Observação: calculei f(1)=1-4=-3, f(3)=9-12=-3. Desenhe a parábola que passa por esses pontos e que abre para cima, válida somente para x\geqslant 0.
Passo 6
Para quem gosta de checar derivadas (ajuda a saber a inclinação no ponto de ligação):
Derivada para x>0: f'(x)=2x-4. Em x\to 0^{+} temos f'(0^{+})=-4.
Derivada para x<0: f'(x)=-2x-4. Em x\to 0^{-} temos f'(0^{-})=-4.
Como f'(0^{-})=f'(0^{+})=-4, a função é diferenciável em 0 e a inclinação da curva em 0 é -4. Isso confirma que os dois ramos se encontram suavemente em (0,0).
Passo 7
Instruções finais para desenhar o esboço (faça à mão, ligando os pontos com a forma de parábola apropriada):
No lado esquerdo (x<0), desenhe a parábola com vértice em (-2,4), passando por (-4,0) e indo para -\infty quando x\to -\infty. Marque (0,0) como não incluído por esse ramo (bolinha aberta).
No lado direito (x\geqslant 0), desenhe a parábola com vértice em (2,-4), passando por (0,0) e por (4,0), subindo para +\infty quando x\to +\infty. Marque (0,0) como incluído (bolinha preenchida).
O gráfico resultante é contínuo e suave em x=0, com uma mudança de concavidade visível (parábola para baixo à esquerda, para cima à direita).
Resposta
Gráfico constituído por duas parábolas ligadas em (0,0):
\text{Para }x<0:\;f(x)=4-(x+2)^{2}\quad\text{(parábola que abre para baixo, vértice }(-2,4),\; \text{raiz }x=-4).áé
\text{Para }x\geqslant 0:\;f(x)=(x-2)^{2}-4\quad\text{(parábola que abre para cima, vértice }(2,-4),\; \text{raízes }x=0,4).áéí
Pontos úteis para traçar: (-4,0),\;(-2,4),\;(-1,3),\;(0,0),\;(1,-3),\;(2,-4),\;(3,-3),\;(4,0). A função é contínua e diferenciável em 0 (derivada igual a -4 em ambos os lados).