\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\left(e^{x}+x\right)^{1/x}.
Informações dadas: a expressão depende de x que tende para +\infty; dentro da potência temos a soma de e^{x} e x. A pergunta é: qual é o limite dessa expressão quando x cresce sem bound?

Passo 2

Estratégia: quando aparece uma expressão na forma \text{coisa}^{1/x} é comum tomar logaritmo natural para trazer o expoente para frente; isso facilita calcular o limite. Vou definir a função:
y=(e^{x}+x)^{1/x}.
Como a função logarítmica é contínua e estritamente crescente para valores positivos, calcular \lim_{x\to\infty} y é equivalente a calcular \lim_{x\to\infty}\ln y e então expor o resultado. Vou trabalhar com \ln y.

Passo 3

Calculemos \ln y:
\ln y=\ln\big((e^{x}+x)^{1/x}\big)=\frac{1}{x}\ln\big(e^{x}+x\big).
Agora fatoramos e^{x} dentro do logaritmo para separar a parte dominante:
e^{x}+x=e^{x}\big(1+x e^{-x}\big).
Expliquei: puxei e^{x} como fator comum, ficando um fator 1+x e^{-x} dentro do parêntese.

Passo 4

Use a propriedade do logaritmo \ln(ab)=\ln a+\ln b. Aplicando na expressão anterior:
\ln\big(e^{x}+x\big)=\ln\big(e^{x}\big)+\ln\big(1+x e^{-x}\big)=x+\ln\big(1+x e^{-x}\big).
Portanto
\ln y=\frac{1}{x}\big(x+\ln(1+x e^{-x})\big)=1+\frac{1}{x}\ln(1+x e^{-x}).

Passo 5

Agora precisamos calcular o limite da segunda parcela:
\frac{1}{x}\ln(1+x e^{-x})
quando x\to\infty. Primeiro note que x e^{-x}>0 para x>0. Vou mostrar que x e^{-x}\to 0. Considere
x e^{-x}=\frac{x}{e^{x}}.
Como e^{x} cresce muito mais rápido que qualquer potência de x, temos \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}}=0. Uma justificativa rápida usa L’Hôpital: escrevendo \frac{x}{e^{x}} e derivando numerador e denominador, obtemos \lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x}}=0. Então
\lim_{x\to\infty} x e^{-x}=0.

Passo 6

Como u:=x e^{-x}\to 0^{+}, podemos usar a desigualdade clássica para u> -1:
0<\ln(1+u)\le u.
Aplicando com u=x e^{-x} (que é positivo para x>0), obtemos
0<\ln(1+x e^{-x})\le x e^{-x}.
Dividindo essa desigualdade por x>0
0<\frac{1}{x}\ln(1+x e^{-x})\le \frac{1}{x}\cdot x e^{-x}=e^{-x}.
Como \lim_{x\to\infty} e^{-x}=0, pelo princípio do confronto segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\ln(1+x e^{-x})=0.

Passo 7

Voltando a \ln y, temos
\lim_{x\to\infty}\ln y=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\ln(1+x e^{-x})\right)=1+0=1.
Como \ln y\to 1, aplicando a função exponencial (inversa do logaritmo), obtemos
\lim_{x\to\infty} y = \lim_{x\to\infty} (e^{x}+x)^{1/x} = e^{1}=e.
Expliquei: usar log preserva limites através da continuidade do exponencial.

Resposta

e

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