Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: a expressão depende de
que tende para
; dentro da potência temos a soma de
e
. A pergunta é: qual é o limite dessa expressão quando
cresce sem bound?
Passo 2
Estratégia: quando aparece uma expressão na forma
é comum tomar logaritmo natural para trazer o expoente para frente; isso facilita calcular o limite. Vou definir a função:
Como a função logarítmica é contínua e estritamente crescente para valores positivos, calcular
é equivalente a calcular
e então expor o resultado. Vou trabalhar com
.
Passo 3
Calculemos
:
Agora fatoramos
dentro do logaritmo para separar a parte dominante:
Expliquei: puxei
como fator comum, ficando um fator
dentro do parêntese.
Passo 4
Use a propriedade do logaritmo
. Aplicando na expressão anterior:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos calcular o limite da segunda parcela:
quando
. Primeiro note que
para
. Vou mostrar que
. Considere
Como
cresce muito mais rápido que qualquer potência de
, temos
. Uma justificativa rápida usa L’Hôpital: escrevendo
e derivando numerador e denominador, obtemos
. Então
Passo 6
Como
, podemos usar a desigualdade clássica para
:
Aplicando com
(que é positivo para
), obtemos
Dividindo essa desigualdade por
dá
Como
, pelo princípio do confronto segue que
Passo 7
Voltando a
, temos
Como
, aplicando a função exponencial (inversa do logaritmo), obtemos
Expliquei: usar log preserva limites através da continuidade do exponencial.