Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmaçōes:
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmaçōes:
\operatorname{Se}|\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|\, entāo \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}ā.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
\operatorname{Se}\;|\vec{u}|=|\vec{v}|\;\operatorname{então}\;\vec{u}=\vec{v}.ã
Informações dadas:
  • Sabemos apenas que os módulos (normas) de \vec{u} e \vec{v} são iguais: |\vec{u}|=|\vec{v}|.
  • A pergunta é: essa igualdade de módulos garante que os vetores sejam idênticos ( \vec{u}=\vec{v})?

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados de forma clara):
  • Igualdade de vetores: \vec{u}=\vec{v} significa que todos os componentes de \vec{u} são iguais aos componentes correspondentes de \vec{v}. Em \mathbb{R}^n, se \vec{u}=(u_1,\dots,u_n) e \vec{v}=(v_1,\dots,v_n), então \vec{u}=\vec{v} se e somente se u_i=v_i para todo i.
  • Norma (módulo) de um vetor: |\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{u_1^2+\cdots+u_n^2}. A norma mede o comprimento do vetor, mas não informa sua direção.
  • Produto escalar e ângulo: \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. O produto escalar combina informação de tamanho e direção.
Comentário intuitivo: ter o mesmo comprimento não diz nada sobre a direção. Dois vetores com comprimentos iguais podem apontar para direções diferentes.

Passo 3

Construir um contraexemplo simples (modo direto de mostrar que a afirmação é falsa).
Escolha os vetores em \mathbb{R}^2
\vec{u}=(1,0),\qquad \vec{v}=(-1,0).
Calcule as normas:
|\vec{u}|=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1, \qquad |\vec{v}|=\sqrt{(-1)^2+0^2}=\sqrt{1}=1.
Logo |\vec{u}|=|\vec{v}|, mas claramente
\vec{u}=(1,0)\neq(-1,0)=\vec{v}.
Portanto a implicação "se |\vec{u}|=|\vec{v}| então \vec{u}=\vec{v}" é falsa: encontramos dois vetores de mesmo comprimento que não são iguais (são opostos).

Passo 4

Mais exemplos e intuição:
  • Outro contraexemplo: \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1). Ambos têm norma 1, mas não são iguais (são ortogonais).
  • Classe geral: se \vec{v}=-\vec{u} então |\vec{v}|=|\vec{u}| sempre, mas \vec{v}\neq\vec{u} exceto no caso trivial \vec{u}=\vec{0}.
    Isto mostra que igualdade de normas não controla o sentido do vetor, apenas o comprimento.

Passo 5

Quando a afirmação seria verdadeira? Condição necessária e suficiente para concluir \vec{u}=\vec{v} a partir de informações envolvendo normas:
  • Se soubermos que |\vec{u}|=|\vec{v}| e que o ângulo entre eles é 0 (ou equivalentemente \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|), então de fato \vec{u}=\vec{v}. Prova rápida:
|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}.
Se |\vec{u}|=|\vec{v}| e \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|=|\vec{u}|^2, então
|\vec{u}-\vec{v}|^2 = 2|\vec{u}|^2 - 2|\vec{u}|^2 = 0,
logo |\vec{u}-\vec{v}|=0 e portanto \vec{u}-\vec{v}=\vec{0}, isto é \vec{u}=\vec{v}.
  • Mas sem essa informação sobre direção, igualdade de normas sozinha não basta.

Passo 6

Conclusão final curta e motivadora: a afirmação original é falsa; basta um contraexemplo (por exemplo \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(-1,0)) para demonstrar isso. Não se preocupe: reconhecer que módulo não dá direção é uma boa sacada para a prova — está indo bem!

Resposta

Falsa

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