Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmaçōes:
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmaçōes:
.
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmaçōes:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
Informações dadas:
- Sabemos apenas que os módulos (normas) de
e são iguais: . - A pergunta é: essa igualdade de módulos garante que os vetores sejam idênticos (
)?
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados de forma clara):
- Igualdade de vetores:
significa que todos os componentes de são iguais aos componentes correspondentes de . Em , se e , então se e somente se para todo . - Norma (módulo) de um vetor:
. A norma mede o comprimento do vetor, mas não informa sua direção. - Produto escalar e ângulo:
, onde é o ângulo entre e . O produto escalar combina informação de tamanho e direção.
Comentário intuitivo: ter o mesmo comprimento não diz nada sobre a direção. Dois vetores com comprimentos iguais podem apontar para direções diferentes.
Passo 3
Construir um contraexemplo simples (modo direto de mostrar que a afirmação é falsa).
Escolha os vetores em
Calcule as normas:
Logo
, mas claramente
Portanto a implicação "se
então
" é falsa: encontramos dois vetores de mesmo comprimento que não são iguais (são opostos).
Passo 4
Mais exemplos e intuição:
- Outro contraexemplo:
e . Ambos têm norma , mas não são iguais (são ortogonais). - Classe geral: se
então sempre, mas exceto no caso trivial .
Isto mostra que igualdade de normas não controla o sentido do vetor, apenas o comprimento.
Passo 5
Quando a afirmação seria verdadeira? Condição necessária e suficiente para concluir
a partir de informações envolvendo normas:
- Se soubermos que
e que o ângulo entre eles é (ou equivalentemente ), então de fato . Prova rápida:
Se
e
, então
logo
e portanto
, isto é
.
- Mas sem essa informação sobre direção, igualdade de normas sozinha não basta.
Passo 6
Conclusão final curta e motivadora: a afirmação original é falsa; basta um contraexemplo (por exemplo
e
) para demonstrar isso. Não se preocupe: reconhecer que módulo não dá direção é uma boa sacada para a prova — está indo bem!
Resposta
Falsa