Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmaçōes:
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmaçōes:
\operatorname{Se} \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}\, entāo |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|ā.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
\text{Se } \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\text{ então }|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}|.ã
Informações dadas (explicitadas):
  • Há duas flechas/vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}.
  • A hipótese é que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}.
  • A conclusão a verificar é que os módulos (normas) |\overrightarrow{u}| e |\overrightarrow{v}| são iguais.

Passo 2

Definição de igualdade de vetores (explicada devagar): dizer que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} significa que os vetores têm exatamente as mesmas componentes coordenada a coordenada. Ou seja, se escrevemos os vetores em coordenadas cartesianas num espaço de dimensão n,
\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n),\qquad \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n),
então \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} significa
u_1=v_1,\; u_2=v_2,\; \dots,\; u_n=v_n.
Explicação das variáveis: cada u_i e v_i é a i-ésima componente (coordenada) dos vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}.

Passo 3

Definição do módulo (norma) de um vetor e explicação das variáveis: para um vetor \overrightarrow{w}=(w_1,w_2,\dots,w_n) o módulo |\overrightarrow{w}| é dado por
|\overrightarrow{w}|=\sqrt{w_1^{2}+w_2^{2}+\cdots+w_n^{2}}.
Aqui cada w_i é a i-ésima componente do vetor \overrightarrow{w}. A norma mede o “tamanho” do vetor e é sempre um número não negativo.

Passo 4

Prova direta usando as definições (passo a passo): suponha \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}. Então, por Passo 2, para todo i vale u_i=v_i. Agora calcule os módulos usando a fórmula do Passo 3:
|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}+\cdots+u_n^{2}}
e
|\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+\cdots+v_n^{2}}.
Como u_i=v_i para todo i, cada termo u_i^{2} coincide com v_i^{2}. Portanto as somas dentro das raízes são iguais, e assim as raízes são iguais:
|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}|.

Passo 5

Intuição e exemplo concreto para fixar a ideia: se dois vetores são exatamente a mesma flecha (mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento), faz sentido físico que seus comprimentos coincidam. Exemplo numérico (2D): tome \overrightarrow{u}=(3,4) e \overrightarrow{v}=(3,4). Então
|\overrightarrow{u}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
e o mesmo para |\overrightarrow{v}|. Isso mostra na prática como a igualdade das componentes leva à igualdade dos módulos.

Resposta

Verdadeira.

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