Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmaçōes:
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmaçōes:
.
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmaçōes:
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Informações dadas (explicitadas):
- Há duas flechas/vetores
e . - A hipótese é que
. - A conclusão a verificar é que os módulos (normas)
e são iguais.
Passo 2
Definição de igualdade de vetores (explicada devagar): dizer que
significa que os vetores têm exatamente as mesmas componentes coordenada a coordenada. Ou seja, se escrevemos os vetores em coordenadas cartesianas num espaço de dimensão
,
então
significa
Explicação das variáveis: cada
e
é a i-ésima componente (coordenada) dos vetores
e
.
Passo 3
Definição do módulo (norma) de um vetor e explicação das variáveis: para um vetor
o módulo
é dado por
Aqui cada
é a i-ésima componente do vetor
. A norma mede o “tamanho” do vetor e é sempre um número não negativo.
Passo 4
Prova direta usando as definições (passo a passo): suponha
. Então, por Passo 2, para todo
vale
. Agora calcule os módulos usando a fórmula do Passo 3:
e
Como
para todo
, cada termo
coincide com
. Portanto as somas dentro das raízes são iguais, e assim as raízes são iguais:
Passo 5
Intuição e exemplo concreto para fixar a ideia: se dois vetores são exatamente a mesma flecha (mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento), faz sentido físico que seus comprimentos coincidam. Exemplo numérico (2D): tome
e
. Então
e o mesmo para
. Isso mostra na prática como a igualdade das componentes leva à igualdade dos módulos.
Resposta
Verdadeira.