Seja g(x)=\log _{2}(x+1)-2.
a) Determine g^{-1}, restringindo domínio e imagem, se necessário.
b) Construir os gráficos de g e g^{-1}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Foi dada a função g definida por g(x)=\log_{2}(x+1)-2.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar g^{-1}, restringindo domínio e imagem, se necessário.
    • (b) Construir os gráficos de g e de g^{-1}.
Informações relevantes que já são visíveis no enunciado:
  • A expressão envolve \log_{2}(x+1), portanto existe a condição implícita x+1>0, ou seja x>-1.
  • Não há outras informações externas fornecidas (nenhuma figura anexada).

Passo 2

Determinar o domínio natural de g (sem ainda achar o inverso): explicar por que é x>-1.
  • A função logarítmica \log_{2}(u) está definida somente quando u>0.
  • No nosso caso u=x+1. Logo a condição é x+1>0 \quad\Rightarrow\quad x>-1.
  • Portanto o domínio natural de g é (-1,\infty).
Comentário didático curto: sempre que aparecer \log(\cdot), primeiro passo é garantir que o argumento do log seja positivo.

Passo 3

Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de g.
  • A função \log_{2}(x+1), com domínio x>-1, toma todos os valores reais: (-\infty,\infty). Isso é uma propriedade básica do logaritmo com base >1: o log varia de -\infty a +\infty quando o argumento varia em (0,\infty).
  • Subtrair 2 (fazer \log_{2}(x+1)-2) desloca verticalmente o gráfico, mas não restringe a amplitude de valores: a imagem continua sendo (-\infty,\infty).
  • Portanto a imagem de g é (-\infty,\infty).
Didática: uma constante somada/subtraída a uma função altera a imagem apenas por translação, não por encolhimento ou limitação, a menos que a função original já tivesse imagem limitada.

Passo 4

Verificar se g é invertível (injeção sobre seu domínio) e justificar por que o inverso existe sem restringir mais.
  • A função \log_{2}(x+1) é estritamente crescente em seu domínio x>-1 (porque \log_2 é crescente e o argumento x+1 é crescente).
  • Subtrair 2 não altera monotonicidade; portanto g é estritamente crescente em (-1,\infty).
  • Função estritamente monotônica em um intervalo é injetora; como a imagem é todo (-\infty,\infty), g é bijetora entre (-1,\infty) e (-\infty,\infty).
  • Conclusão: o inverso g^{-1} existe e está definido em todo (-\infty,\infty). Nenhuma restrição adicional é necessária além das que já tínhamos.
Breve lembrete: para existir inversa, precisamos de injetividade (e aqui também a imagem cobre todos os reais, então o inverso tem domínio todos os reais).

Passo 5

Encontrar g^{-1} algébrica e explicar cada passo do cálculo (método padrão: trocar variáveis e isolar).
  • Começo trocando g(x) por y: y=\log_{2}(x+1)-2.
  • Isolo o logaritmo: somo 2 em ambos os lados: y+2=\log_{2}(x+1).
  • Agora aplico a definição/exponenciação para remover o logaritmo. A igualdade \log_{2}(x+1)=y+2 é equivalente a x+1 = 2^{\,y+2}.Explicação: \log_{2}(A)=B significa A=2^B.
  • Desenvolvo 2^{y+2} usando propriedade de potências 2^{y+2}=2^y\cdot 2^2=4\cdot 2^y: x+1 = 4\cdot 2^{y}.
  • Isolo x: x = 4\cdot 2^{y}-1.
  • Agora troco o papel das variáveis para escrever a função inversa em notação usual: substituir y por x na fórmula de g^{-1}. Assim g^{-1}(x)=4\cdot 2^{x}-1.
Didática sobre o passo crítico: trocar x por y, resolver para x e no final renomear y de volta para x é o procedimento padrão para obter a expressão do inverso.

Passo 6

Determinar domínio e imagem de g^{-1} a partir das relações entre função e inversa.
  • Propriedade geral: domínio de g = imagem de g^{-1} e imagem de g = domínio de g^{-1}.
  • Já tínhamos:
    • Domínio de g: (-1,\infty).
    • Imagem de g: (-\infty,\infty).
  • Logo:
    • Domínio de g^{-1}: (-\infty,\infty).
    • Imagem de g^{-1}: (-1,\infty).
Breve interpretação: a inversa é uma função exponencial deslocada verticalmente; naturalmente seus valores ficam sempre maiores que -1, porque 4\cdot 2^{x}>0 e subtrair 1 dá algo >-1.

Passo 7

Construção do gráfico de g(x)=\log_{2}(x+1)-2 — passos práticos para desenhar à mão e pontos úteis.
  • Entenda g como transformação de h(x)=\log_{2}(x):
    • Substituir x por x+1 desloca o gráfico de h uma unidade para a esquerda (vertical assíntota que antes era x=0 passa para x=-1).
    • Subtrair 2 desloca o gráfico 2 unidades para baixo.
  • Assim características importantes:
    • Assíntota vertical: x=-1.
    • A curva é crescente e passa por pontos fáceis de calcular. Vou calcular alguns pontos (peguei os valores diretamente da expressão): g(0)=\log_{2}(1)-2=0-2=-2 \quad\Rightarrow\quad (0,-2).
g(1)=\log_{2}(2)-2=1-2=-1 \quad\Rightarrow\quad (1,-1).
g(3)=\log_{2}(4)-2=2-2=0 \quad\Rightarrow\quad (3,0).
g(7)=\log_{2}(8)-2=3-2=1 \quad\Rightarrow\quad (7,1).
  • Com esses pontos e a assíntota x=-1 já é fácil esboçar: gráfico que cresce lentamente para a direita, cruza o eixo y em (0,-2), e para x\to -1^+ vai para -\infty.
Dica prática: marcar assíntota e os pontos acima, desenhar curva crescente que se aproxima da assíntota à esquerda e sobe para +\infty à direita.

Passo 8

Construção do gráfico de g^{-1}(x)=4\cdot 2^{x}-1 — como obter a partir de g ou desenhar diretamente.
  • Relação entre gráficos de função e inversa: são simétricos em relação à reta y=x. Então cada ponto (a,b) do gráfico de g corresponde ao ponto (b,a) no gráfico de g^{-1}.
  • Podemos também ver g^{-1} como transformação da função básica p(x)=2^{x}:
    • 4\cdot 2^{x} é uma dilatação vertical por fator 4.
    • Subtrair 1 é uma translação vertical para baixo de 1.
    • Assim g^{-1} é uma exponencial crescente, com assíntota horizontal y=-1 (porque \lim_{x\to -\infty}4\cdot 2^{x}-1=-1).
  • Pontos correspondentes (refletidos dos do passo anterior): g(0)=(0,-2)\\ \Rightarrow\\ g^{-1}(-2)=0\\ \text{ou}\\ (-2,0).
g(1)=(1,-1)\\ \Rightarrow\\ g^{-1}(-1)=1\\ \text{ou}\\ (-1,1).
g(3)=(3,0)\\ \Rightarrow\\ g^{-1}(0)=3\\ \text{ou}\\ (0,3).
g(7)=(7,1)\\ \Rightarrow\\ g^{-1}(1)=7\\ \text{ou}\\ (1,7).
  • Com assíntota horizontal y=-1 e esses pontos, desenhe uma curva exponencial que se aproxima de -1 à esquerda e cresce rapidamente para a direita.

Passo 9

Comparação e verificação rápida (checar consistência entre fórmulas e pontos).
  • Verifico a fórmula de g^{-1} com um dos pontos: tomar x=-2 em g^{-1}: g^{-1}(-2)=4\cdot 2^{-2}-1=4\cdot\frac{1}{4}-1=1-1=0,que confere com o par (-2,0) esperado. Isso valida a inversa calculada.
  • Observação final motivadora: gráficos de g e g^{-1} são espelhos um do outro em relação a y=x. Se estiver desenhando à mão marque essa reta e use a reflexão como guia.

Resposta

(a) g^{-1}(x)=4\cdot 2^{x}-1. Domínio de g: (-1,\infty). Imagem de g: (-\infty,\infty). Domínio de g^{-1}: (-\infty,\infty). Imagem de g^{-1}: (-1,\infty).
(b) Gráfico de g: curva de \log_{2}(x+1)-2, assíntota vertical x=-1, crescente, pontos de referência (0,-2),(1,-1),(3,0),(7,1).
Gráfico de g^{-1}: curva de 4\cdot 2^{x}-1, assíntota horizontal y=-1, crescente, pontos de referência (-2,0),(-1,1),(0,3),(1,7). Ambos simétricos em relação à reta y=x.

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