Seja
.
a) Determine
, restringindo domínio e imagem, se necessário.
b) Construir os gráficos de
e
.
a) Determine
b) Construir os gráficos de
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- Foi dada a função
definida por . - Perguntas:
- (a) Determinar
, restringindo domínio e imagem, se necessário. - (b) Construir os gráficos de
e de .
- (a) Determinar
Informações relevantes que já são visíveis no enunciado:
- A expressão envolve
, portanto existe a condição implícita , ou seja . - Não há outras informações externas fornecidas (nenhuma figura anexada).
Passo 2
Determinar o domínio natural de
(sem ainda achar o inverso): explicar por que é
.
- A função logarítmica
está definida somente quando . - No nosso caso
. Logo a condição é - Portanto o domínio natural de
é .
Comentário didático curto: sempre que aparecer
, primeiro passo é garantir que o argumento do log seja positivo.
Passo 3
Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
.
- A função
, com domínio , toma todos os valores reais: . Isso é uma propriedade básica do logaritmo com base : o log varia de a quando o argumento varia em . - Subtrair
(fazer ) desloca verticalmente o gráfico, mas não restringe a amplitude de valores: a imagem continua sendo . - Portanto a imagem de
é .
Didática: uma constante somada/subtraída a uma função altera a imagem apenas por translação, não por encolhimento ou limitação, a menos que a função original já tivesse imagem limitada.
Passo 4
Verificar se
é invertível (injeção sobre seu domínio) e justificar por que o inverso existe sem restringir mais.
- A função
é estritamente crescente em seu domínio (porque é crescente e o argumento é crescente). - Subtrair
não altera monotonicidade; portanto é estritamente crescente em . - Função estritamente monotônica em um intervalo é injetora; como a imagem é todo
, é bijetora entre e . - Conclusão: o inverso
existe e está definido em todo . Nenhuma restrição adicional é necessária além das que já tínhamos.
Breve lembrete: para existir inversa, precisamos de injetividade (e aqui também a imagem cobre todos os reais, então o inverso tem domínio todos os reais).
Passo 5
Encontrar
algébrica e explicar cada passo do cálculo (método padrão: trocar variáveis e isolar).
- Começo trocando
por : - Isolo o logaritmo: somo
em ambos os lados: - Agora aplico a definição/exponenciação para remover o logaritmo. A igualdade
é equivalente a Explicação: significa . - Desenvolvo
usando propriedade de potências : - Isolo
: - Agora troco o papel das variáveis para escrever a função inversa em notação usual: substituir
por na fórmula de . Assim
Didática sobre o passo crítico: trocar
por
, resolver para
e no final renomear
de volta para
é o procedimento padrão para obter a expressão do inverso.
Passo 6
Determinar domínio e imagem de
a partir das relações entre função e inversa.
- Propriedade geral: domínio de
= imagem de e imagem de = domínio de . - Já tínhamos:
- Domínio de
: . - Imagem de
: .
- Domínio de
- Logo:
- Domínio de
: . - Imagem de
: .
- Domínio de
Breve interpretação: a inversa é uma função exponencial deslocada verticalmente; naturalmente seus valores ficam sempre maiores que
, porque
e subtrair
dá algo
.
Passo 7
Construção do gráfico de
— passos práticos para desenhar à mão e pontos úteis.
- Entenda
como transformação de : - Substituir
por desloca o gráfico de uma unidade para a esquerda (vertical assíntota que antes era passa para ). - Subtrair
desloca o gráfico 2 unidades para baixo.
- Substituir
- Assim características importantes:
- Assíntota vertical:
. - A curva é crescente e passa por pontos fáceis de calcular. Vou calcular alguns pontos (peguei os valores diretamente da expressão):
- Assíntota vertical:
- Com esses pontos e a assíntota
já é fácil esboçar: gráfico que cresce lentamente para a direita, cruza o eixo em , e para vai para .
Dica prática: marcar assíntota e os pontos acima, desenhar curva crescente que se aproxima da assíntota à esquerda e sobe para
à direita.
Passo 8
Construção do gráfico de
— como obter a partir de
ou desenhar diretamente.
- Relação entre gráficos de função e inversa: são simétricos em relação à reta
. Então cada ponto do gráfico de corresponde ao ponto no gráfico de . - Podemos também ver
como transformação da função básica : -
é uma dilatação vertical por fator . - Subtrair
é uma translação vertical para baixo de . - Assim
é uma exponencial crescente, com assíntota horizontal (porque ).
-
- Pontos correspondentes (refletidos dos do passo anterior):
- Com assíntota horizontal
e esses pontos, desenhe uma curva exponencial que se aproxima de à esquerda e cresce rapidamente para a direita.
Passo 9
Comparação e verificação rápida (checar consistência entre fórmulas e pontos).
- Verifico a fórmula de
com um dos pontos: tomar em : que confere com o par esperado. Isso valida a inversa calculada. - Observação final motivadora: gráficos de
e são espelhos um do outro em relação a . Se estiver desenhando à mão marque essa reta e use a reflexão como guia.
Resposta
(a)
. Domínio de
:
. Imagem de
:
. Domínio de
:
. Imagem de
:
.
(b) Gráfico de
: curva de
, assíntota vertical
, crescente, pontos de referência
.
Gráfico de : curva de
, assíntota horizontal
, crescente, pontos de referência
. Ambos simétricos em relação à reta
.
Gráfico de