Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas.
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Passo 1
A questão pede para desenhar o gráfico de três funções logarítmicas: y = log₁₀ x, y = log₂ x e y = log_{1/2} x. Isso cai em conteúdo de funções logarítmicas e propriedades de domínio, assimntota e monotonia.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as propriedades gerais de qualquer y = log_a x: domínio x > 0, assíntota vertical em x = 0 e intercepto em (1,0). Além disso, se a > 1, a função é crescente; se 0 < a < 1, ela é decrescente.
Passo 3
Para cada base a, identificamos pontos-chave usando log_a 1 = 0, log_a a = 1 e log_a (1/a) = –1. Assim temos para a = 10: (1,0), (10,1) e (0.1,–1). Para a = 2: (1,0), (2,1) e (0.5,–1). Para a = 1/2: (1,0), (1/2,1) e (2,–1).
Passo 4
Agora determinamos o comportamento: y = log₁₀ x e y = log₂ x são crescentes e passam pelos pontos acima; suas curvas sobem lentamente para x grande e descem acentuadamente ao se aproximar de 0. Já y = log_{1/2} x é decrescente: quando x cresce, y fica cada vez mais negativo, e ao se aproximar de 0, y → +∞.
Passo 5
Para esboçar: desenhe os eixos. Marque x = 0 (assíntota), x = 0.1, 0.5, 1, 2, 10. Em (1,0) todas se encontram. A partir daí, trace a curva crescente suave através de (2,1),(10,1) para log₂ x, ainda mais lenta para log₁₀ x; e a curva decrescente que passa em (1/2,1),(2,–1) para log_{1/2} x.
O gráfico final terá três curvas: duas crescentes (bases 2 e 10) com formatos semelhantes mas escala vertical diferente, e uma decrescente (base = 1/2) espelhada em relação ao eixo y em comparação com log₂ x.
O gráfico final terá três curvas: duas crescentes (bases 2 e 10) com formatos semelhantes mas escala vertical diferente, e uma decrescente (base = 1/2) espelhada em relação ao eixo y em comparação com log₂ x.
Passo 6
Como resposta final, apresente o esboço com as três curvas distintas, assintota em x=0, pontos (1,0) comuns e os pontos marcados para cada base.
Resposta
O esboço mostra:
– y = log₁₀ x: curva crescente, passa por (0.1,–1), (1,0), (10,1), assíntota x=0.
– y = log₂ x: curva crescente mais inclinada, passa por (0.5,–1), (1,0), (2,1), assíntota x=0.
– y = log_{1/2} x: curva decrescente, passa por (2,–1), (1,0), (0.5,1), assíntota x=0.
– y = log₁₀ x: curva crescente, passa por (0.1,–1), (1,0), (10,1), assíntota x=0.
– y = log₂ x: curva crescente mais inclinada, passa por (0.5,–1), (1,0), (2,1), assíntota x=0.
– y = log_{1/2} x: curva decrescente, passa por (2,–1), (1,0), (0.5,1), assíntota x=0.