Resolva as Derivadas usando as regras do Produto e Quociente:
R(t)=(3 t^3+2 e^t)(t^4-raizt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, precisamos usar as regras do Produto e do Quociente da derivada. Vamos precisar saber como derivar polinômios, exponenciais e radicais, além de aplicar a regra do produto para multiplicar duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
f(t) = 3 t^3 + 2 e^t
g(t) = t^4 - raizt
Para aplicar a regra do produto, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 3

Vamos derivar f'(t) = 9 t^2 + 2 e^t :
  • A derivada de é (usamos a regra da potência: derivada de é ).
  • A derivada de é (a derivada de é ).
Então,

Passo 4

Agora, vamos derivar g'(t) = 4 t^3 - 12 t^-1/2 :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (ou ).
Então,

Passo 5

Agora que temos R'(t) = f'(t)g(t) + f(t)g'(t) , R'(t) = (9 t^2 + 2 e^t)(t^4 - raizt) + (3 t^3 + 2 e^t)(4 t^3 - 12 t^-1/2) , e , podemos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que se , então:
Vamos substituir as funções e suas derivadas:

Passo 6

Agora, podemos expandir as expressões para simplificar:
Primeiro termo:
(9 t^2 + 2 e^t)(t^4 - raizt) = 9 t^6 - 9 t^2.5 + 2 e^t t^4 - 2 e^t raizt
Segundo termo:
(3 t^3 + 2 e^t)(4 t^3 - 12 t^-1/2) = 12 t^6 - 32 t^2.5 + 8 e^t t^3 - e^t t^-1/2

Passo 7

Finalmente, vamos juntar tudo:
R'(t) = 9 t^6 - 9 t^2.5 + 2 e^t t^4 - 2 e^t raizt + 12 t^6 - 32 t^2.5 + 8 e^t t^3 - e^t t^-1/2
Podemos combinar os termos semelhantes:
R'(t) = (9 t^6 + 12 t^6) + (-9 t^2.5 - 32 t^2.5) + (2 e^t t^4 + 8 e^t t^3) + (-2 e^t raizt - e^t t^-1/2)
Simplificando:
R'(t) = 21 t^6 - 212 t^2.5 + 10 e^t t^4 - 2.5 e^t t^-0.5

Resposta

A derivada de R'(t) = 21 t^6 - 212 t^2.5 + 10 e^t t^4 - 2.5 e^t t^-0.5 é:

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