Encontre y^prime e a y por derivação implícita a equação
x ln y=2 x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita. A gente tem a equação e precisa encontrar a derivada de em relação a ( ) e também expressar em termos de . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a derivada de funções compostas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em encontrar x ln y = 2x^3 . Como a equação envolve que depende de , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso é o que chamamos de derivação implícita.
Começando com a equação:
Vamos diferenciar cada termo em relação a .

Passo 3

Para diferenciar o lado esquerdo, ddx(x ln y) = ddx(x) cdot ln y + x cdot ddx(ln y) , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de 1 cdot ln y + x cdot y'y = ddx(2x^3) = 6x^2 é , onde e .
Então:
Sabemos que e (usando a regra da cadeia).
Portanto:

Passo 4

Agora, temos a equação:
ln y + x y'y = 6x^2
Vamos isolar x y'y = 6x^2 - ln y . Primeiro, subtraímos y' = yx (6x^2 - ln y) de ambos os lados:
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por para resolver :

Passo 5

Agora, para expressar x ln y = 2x^3 em termos de ln y = 2x^2 , voltamos à equação original:
y = e^2x^2
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Para eliminar o logaritmo, usamos a função exponencial em ambos os lados:

Passo 6

Com y' = e^2x^2x (6x^2 - 2x^2) = e^2x^2x cdot 4x^2 = 4x cdot e^2x^2 , podemos substituir de volta na expressão que encontramos para :

Resposta

Portanto, as soluções são:
y = e^2x^2 e y' = 4x cdot e^2x^2

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