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e a y por derivação implícita a equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita. A gente tem a equação
e precisa encontrar a derivada de
em relação a
(
) e também expressar
em termos de
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a derivada de funções compostas e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em encontrar
. Como a equação envolve
que depende de
, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso é o que chamamos de derivação implícita.
Começando com a equação:
Vamos diferenciar cada termo em relação a
.
Passo 3
Para diferenciar o lado esquerdo,
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, onde
e
.
Então:
Sabemos que
e
(usando a regra da cadeia).
Portanto:
Passo 4
Agora, temos a equação:
Vamos isolar
. Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por
para resolver
:
Passo 5
Agora, para expressar
em termos de
, voltamos à equação original:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Para eliminar o logaritmo, usamos a função exponencial em ambos os lados:
Passo 6
Com
, podemos substituir de volta na expressão que encontramos para
:
Resposta
Portanto, as soluções são: