Resolva as Derivadas abaixo usando a regra da Cadeia:
y=(2 x^2+xx^2-1)^8

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a Regra da Cadeia. Isso significa que vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Vamos passo a passo para ficar bem tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que serão importantes para aplicar a Regra da Cadeia. Aqui, temos uma função elevada à potência 8, que é a nossa função externa, e dentro dela temos uma fração, que é a nossa função interna.
  • Função externa: , onde
  • Função interna:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra nos diz que a derivada da função composta dydx = n cdot u^n-1 cdot dudx é:
dydx = 8 cdot (2x^2 + xx^2 - 1)^7 cdot ddx(2x^2 + xx^2 - 1)
No nosso caso, e . Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função interna ddx(f(x)g(x)) = f'(x) cdot g(x) - g'(x) cdot f(x)[g(x)]^2 . Como temos uma fração, vamos usar a Regra do Quociente, que é essencial para derivar expressões do tipo .
A Regra do Quociente diz que:
Aplicando isso aqui:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na Regra do Quociente:
dudx = (4x + 1)(x^2 - 1) - (2x)(2x^2 + x)(x^2 - 1)^2

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
  1. Multiplicando:
  2. Multiplicando:
  3. Subtraindo:
  4. Então, a derivada simplificada fica:

Passo 8

Agora, voltamos à nossa expressão original da derivada usando a Regra da Cadeia:
dydx = 8 cdot (2x^2 + xx^2 - 1)^7 cdot -x^2 - 4x - 1(x^2 - 1)^2
Podemos simplificar um pouco mais juntando as potências de dydx = 8 cdot (2x^2 + x)^7 cdot (-x^2 - 4x - 1) cdot (x^2 - 1)^-9 :

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 8 cdot (2x^2 + xx^2 - 1)^7 cdot -x^2 - 4x - 1 (x^2 - 1)^2
Ou, de forma simplificada:
dydx = 8(2x^2 + x)^7(-x^2 - 4x - 1)(x^2 - 1)^9

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