Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) linear não-homogênea com coeficientes constantes usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de equações diferenciais lineares, especialmente o método da variação de parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, encontramos as raízes da equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não-homogênea usando o método da variação de parâmetros. A ideia é assumir que os coeficientes
e
não são constantes, mas sim funções de
, ou seja,
e
.
Então, nossa solução particular será:
Passo 6
Para encontrar
e
, usamos as seguintes equações:
Essas equações vêm da substituição de
na equação original e da imposição de simplificação para facilitar os cálculos.
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Primeiro, da primeira equação:
Podemos reescrever como:
Da segunda equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração.
Então:
Passo 10
Agora, substituímos
na equação (1) para encontrar
:
Simplificando:
Então:
Passo 11
Integrando
:
Mais uma vez, ignoramos a constante de integração para a solução particular:
Passo 12
Agora, temos
e
. Vamos construir a solução particular:
Simplificando:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se houver condições iniciais.