Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+2 y^prime+y=x^2 e^-x

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) linear não-homogênea com coeficientes constantes usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
y'' + 2y' + y = x^2 e^-x
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de equações diferenciais lineares, especialmente o método da variação de parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 2y' + y = 0
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, encontramos as raízes da equação característica:
r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = -2 pm raiz4 - 42 = -2 pm 02 = -1
Então, temos uma raiz dupla r = -1.

Passo 4

Com a raiz dupla r = -1, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (C1 + C2x)e^-x
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação não-homogênea usando o método da variação de parâmetros. A ideia é assumir que os coeficientes C1 e C2 não são constantes, mas sim funções de x, ou seja, u1(x) e u2(x).
Então, nossa solução particular será:
yp(x) = u1(x)e^-x + u2(x)x e^-x

Passo 6

Para encontrar u1(x) e u2(x), usamos as seguintes equações:
u1'(x)e^-x + u2'(x)x e^-x = 0
u1'(x)(-e^-x) + u2'(x)(e^-x - x e^-x) = x^2 e^-x
Essas equações vêm da substituição de yp(x) na equação original e da imposição de simplificação para facilitar os cálculos.

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Primeiro, da primeira equação:
u1'(x)e^-x + u2'(x)x e^-x = 0
Podemos reescrever como:
u1'(x) + u2'(x)x = 0 (1)
Da segunda equação:
-u1'(x)e^-x + u2'(x)e^-x - u2'(x)x e^-x = x^2 e^-x
Dividindo ambos os lados por e^-x:
-u1'(x) + u2'(x) - u2'(x)x = x^2
Simplificando:
-u1'(x) + u2'(x)(1 - x) = x^2 (2)

Passo 8

Agora, temos o sistema de equações:
u1' + u2'x = 0 (1) - u1' + u2'(1 - x) = x^2 (2)
Vamos somar as duas equações para eliminar u1':
u1' + u2'x - u1' + u2'(1 - x) = 0 + x^2
Isso simplifica para:
u2' = x^2

Passo 9

Integrando u2' = x^2:
u2(x) = integral x^2 dx = x^33 + C
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração.
Então:
u2(x) = x^33

Passo 10

Agora, substituímos u2(x) na equação (1) para encontrar u1':
u1' + ( x^33 ) x = 0
Simplificando:
u1' + x^43 = 0
Então:
u1' = -x^43

Passo 11

Integrando u1':
u1(x) = integral -x^43 dx = -x^515 + C
Mais uma vez, ignoramos a constante de integração para a solução particular:
u1(x) = -x^515

Passo 12

Agora, temos u1(x) e u2(x). Vamos construir a solução particular:
yp(x) = u1(x)e^-x + u2(x)x e^-x = ( -x^515 ) e^-x + ( x^33 ) x e^-x
Simplificando:
yp(x) = -x^515 e^-x + x^43 e^-x

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2x)e^-x - x^515 e^-x + x^43 e^-x

Resposta

Então, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2x)e^-x - x^515 e^-x + x^43 e^-x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se houver condições iniciais.

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