Ache a área da região exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
.
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região delimitada por duas curvas em coordenadas polares: a circunferência
e a lemniscata
. Para isso vamos usar a fórmula de área em polares para a região entre duas curvas:
.
Passo 2
Primeiro encontramos os ângulos de interseção resolvendo simultaneamente
e
. Substituindo
em
temos
Logo
Passo 3
A lemniscata só existe quando
, isto é em duas lóbulas simétricas (primeiro e terceiro quadrantes). A região entre as curvas em cada lóbula ocorre para
.
Para uma lóbula montamos o integral
Para uma lóbula montamos o integral
Passo 4
Calculando:
Passo 5
Avalia em
a $ -2\cos(\pi/6)-2(\pi/6)=-\sqrt3-\tfrac{\pi}{6}$ e em
a
. A diferença dá
Passo 6
Como há duas lóbulas iguais, a área total é o dobro de
.
Resposta
4\sqrt3-\tfrac{4\pi}{3}