Ache a área da região exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
r=2
.
r^2=8 sen 20

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada por duas curvas em coordenadas polares: a circunferência r=2 e a lemniscata r^2=8sin(2theta). Para isso vamos usar a fórmula de área em polares para a região entre duas curvas: A=integraltheta1^theta2 tfrac12l(rexterno^2-rinterno^2r),dtheta.

Passo 2

Primeiro encontramos os ângulos de interseção resolvendo simultaneamente r=2 e r^2=8sin(2theta). Substituindo r=2 em r^2=8sin(2theta) temos
4=8sin(2theta)Longrightarrowsin(2theta)=tfrac12Longrightarrow2theta=tfracpi6,,tfrac5pi6
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theta=tfracpi12,,tfrac5pi12

Passo 3

A lemniscata só existe quando sin(2theta)>=0, isto é em duas lóbulas simétricas (primeiro e terceiro quadrantes). A região entre as curvas em cada lóbula ocorre para thetain[pi/12,5pi/12].
Para uma lóbula montamos o integral
Alóbula=integralpi/12^5pi/12tfrac12l(8sin(2theta)-4r),dtheta;=;integralpi/12^5pi/12l(4sin(2theta)-2r),dthetaó

Passo 4

Calculando:
integral(4sin(2theta)-2),dtheta=-2cos(2theta)-2theta+ C

Passo 5

Avalia em theta=pi/12 a $ -2\cos(\pi/6)-2(\pi/6)=-\sqrt3-\tfrac{\pi}{6}$ e em -2cos(pi/6)-2(pi/6)=-raiz3-tfracpi6 a theta=5pi/12. A diferença dá
-2cos(5pi/6)-2(5pi/12)=raiz3-tfrac5pi6ó

Passo 6

Como há duas lóbulas iguais, a área total é o dobro de Alóbulaó.

Resposta

4\sqrt3-\tfrac{4\pi}{3}

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