Calcule as primitivas abaixo
integral cos theta d thetasen^2 theta+3 sen theta-4

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva da função cos thetasin^2theta + 3sintheta - 4. O conteúdo principal envolve integração de funções racionais via substituição trigonométrica e frações parciais. Vamos usar a substituição t = sintheta.

Passo 2

Fazendo a substituição t = sintheta, temos dt = costheta,dtheta. A integral passa a ser
integral costheta,dthetasin^2theta+3sintheta-4 = integral dtt^2+3t-4

Passo 3

O denominador t^2 + 3t - 4 fatora como (t + 4)(t - 1). Podemos então decompor em frações parciais:
1(t+4)(t-1) = At+4 + Bt-1

Passo 4

Para encontrar A e B, igualamos
1 = A(t - 1) + B(t + 4)
Substituindo t = 1 e t = -4, obtemos A = -tfrac15 e B = tfrac15.

Passo 5

Substituindo A e B, a integral se escreve como
15integrall(1t - 1-1t + 4r) dt
Integrando, fica
15lnl|t - 1t + 4r| + C
Voltando a theta, a primitiva é
15lnl|sintheta - 1sintheta + 4r| + C

Resposta

15lnl|sintheta - 1sintheta + 4r| + C

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