Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(17) y=x+3x+6.

Passo 1

Estamos lidando com a função racional y=x+3x+6. O objetivo é esboçar seu gráfico, achar onde ela corta os eixos, e identificar seu domínio e sua imagem. Para isso vamos usar conceitos de domínio de função racional, assíntotas (verticais e horizontais) e interceptos.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que não podemos deixar o denominador zero. Assim, exigimos x+6neq0, ou seja, xneq-6. Logo,
Domínio = (-infty,-6) cup (-6,infty)í

Passo 3

Agora vamos encontrar as assíntotas. Primeiro a vertical: ela ocorre onde o denominador some, então
x=-6

Passo 4

Para a assíntota horizontal, observamos o comportamento quando xtopminfty. Como os polinômios do numerador e do denominador têm mesmo grau, a assíntota é a razão dos coeficientes líderes:
y=11=1

Passo 5

Em síntese, as assíntotas são
x=-6e y=1

Passo 6

Para os interceptos com os eixos, fazemos:
– Intercepto em x (colocar y=0):
0=x+3x+6 Rightarrow x+3=0 Rightarrow x=-3,
logo o ponto (-3,0).
– Intercepto em y (colocar x=0):
y=0+30+6=36=tfrac12,
logo o ponto (0,tfrac12).

Passo 7

Para esboçar o gráfico, marcamos as assíntotas, os interceptos e mais alguns pontos de amostra, por exemplo:
x=-7 Rightarrow y=-7+3-7+6=-4-1=4,
x=-5 Rightarrow y=-5+3-5+6=-21=-2
Com esses pontos e sabendo que a curva se aproxima das assíntotas mas nunca as toca, desenhamos a forma típica de uma hipérbole deslocada.

Passo 8

Por fim, para achar a imagem, reescrevemos
y=1-3x+6

Passo 9

Como tfrac3x+6 varia por todos os reais exceto zero (pois x+6 percorre Rsetminus0), o termo 1-tfrac3x+6 cobre todos os valores reais exceto 1. Assim,
Ima>=m = (-infty,1) cup (1,infty)

Resposta

Assíntotas: x=-6 e y=1; interceptos: (-3,0) e (0,tfrac12); domínio: ( -infty,-6)cup(-6,infty); imagem: ( -infty,1)cup(1,infty).

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