Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
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.
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Passo 1
Estamos lidando com a função racional
. O objetivo é esboçar seu gráfico, achar onde ela corta os eixos, e identificar seu domínio e sua imagem. Para isso vamos usar conceitos de domínio de função racional, assíntotas (verticais e horizontais) e interceptos.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que não podemos deixar o denominador zero. Assim, exigimos
, ou seja,
. Logo,
Passo 3
Agora vamos encontrar as assíntotas. Primeiro a vertical: ela ocorre onde o denominador some, então
Passo 4
Para a assíntota horizontal, observamos o comportamento quando
. Como os polinômios do numerador e do denominador têm mesmo grau, a assíntota é a razão dos coeficientes líderes:
Passo 5
Em síntese, as assíntotas são
Passo 6
Para os interceptos com os eixos, fazemos:
– Intercepto em (colocar
):
– Intercepto em
logo o ponto
– Intercepto em
logo o ponto
.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, marcamos as assíntotas, os interceptos e mais alguns pontos de amostra, por exemplo:
Com esses pontos e sabendo que a curva se aproxima das assíntotas mas nunca as toca, desenhamos a forma típica de uma hipérbole deslocada.
Passo 8
Por fim, para achar a imagem, reescrevemos
Passo 9
Como
varia por todos os reais exceto zero (pois
percorre
), o termo
cobre todos os valores reais exceto
. Assim,
Resposta
Assíntotas:
e
; interceptos:
e
; domínio:
; imagem:
.