Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(11) y=-x^2+2 x.

Passo 1

O enunciado pede para plotar o gráfico da função quadrática y=-x^2+2x, determinar onde ela corta os eixos coordenados, e também indicar domínio e imagem. Vamos usar teoria de funções quadráticas: concavidade, interceptos, vértice, domínio e imagem.

Passo 2

Identificamos que é uma função do 2º grau f(x)=-x^2+2x, com coeficiente a=-1<0 (logo a parábola abre para baixo), b=2 e c=0. O eixo de simetria será dado por x=-tfracb2a.

Passo 3

Para achar a interseção com o eixo y, fazemos x=0:
y=-0^2+2cdot0=0
Logo o ponto é (0,0).
Para o eixo x, igualamos y=0:
-x^2+2x=0
Fatorando: x(-x+2)=0, daí x=0 ou x=2. Os pontos são (0,0) e (2,0).

Passo 4

O vértice V está em xV=-tfracb2a= -tfrac22cdot(-1)=1. Substituindo em f(x):
yV=-(1)^2+2cdot1=1
Portanto V=(1,1). Como a<0, esse é um máximo: ymax=1.

Passo 5

Para desenhar o gráfico, marcamos os pontos chave: vértice (1,1), interceptos (0,0) e (2,0), traçamos o eixo de simetria x=1 e esboçamos uma parábola que abre para baixo passando por esses pontos.

Passo 6

O domínio de qualquer função quadrática é todos os reais, isto é R. A imagem, já que atinge máximo y=1 e vai até -infty, é o intervalo ( -infty,1 ].

Resposta

Interceptos: com o eixo y em (0,0) e com o eixo x em (0,0) e (2,0). Vértice em (1,1). Domínio: R. Imagem: ( -infty,1 ]. Gráfico: parábola com abertura para baixo, vértice em (1,1) e passando pelos interceptos.

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