Usando o método de redução de ordem, ache a solução geral de cada edo. Uma solução de edo homogênea é dada.
y^prime prime-4 x y^prime+(4 x^2-2) y=0, y1=e^x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de segunda ordem
y'' - 4x y' + (4x^2 - 2)y = 0
sabendo que uma solução é y1 = e^x^2. O conteúdo é “redução de ordem” e vamos precisar usar a fórmula que relaciona uma segunda solução y2 a y1.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0
Comparando com
y'' - 4x y' + (4x^2 - 2)y = 0
temos
P(x) = -4x e Q(x) = 4x^2 - 2.

Passo 3

Assumimos uma segunda solução do tipo
y2 = v(x),y1 = v(x)e^x^2.
Calculamos as derivadas:
y2' = v' e^x^2 + v,(2x e^x^2)
y2'' = v'' e^x^2 + 2v' (2x e^x^2) + v (4x^2 e^x^2 + 2 e^x^2).
Substituindo na EDO e cancelando o trecho que envolve v (pois y1 já satisfaz a EDO), sobra:
v'' e^x^2 + 2v'(2x e^x^2) - 4x,v' e^x^2 = 0.
Dividindo por e^x^2
v'' + (4x - 4x)v' = 0
ou
v'' + (2,y1'/y1 - 4x),v' = 0.

Passo 4

Definimos u = v'. A equação vira
u' + (2,y1'/y1 - 4x)u = 0.
Como y1'/y1 = 2x, o coeficiente é
2cdot2x - 4x = 0,
logo u' = 0 e u = C. Para obter uma solução independente tomamos u = 1.

Passo 5

Integrando v' = u = 1 obtemos v(x) = x + D. Para a segunda solução basta usar D=0, então
y2 = v(x)e^x^2 = x e^x^2.
Assim a solução geral é uma combinação linear de y1 e y2.

Resposta

y = C1 e^x^2 + C2 x e^x^2

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