Usando o método de redução de ordem, ache a solução geral de cada edo. Uma solução de edo homogênea é dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de segunda ordem
sabendo que uma solução é
. O conteúdo é “redução de ordem” e vamos precisar usar a fórmula que relaciona uma segunda solução
a
.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão
Comparando com
temos
Passo 3
Assumimos uma segunda solução do tipo
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO e cancelando o trecho que envolve
(pois
já satisfaz a EDO), sobra:
Dividindo por
dá
ou
Passo 4
Definimos
. A equação vira
Como
, o coeficiente é
logo
e
. Para obter uma solução independente tomamos
.
Passo 5
Integrando
obtemos
. Para a segunda solução basta usar
, então
Assim a solução geral é uma combinação linear de
e
.