Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(13) y=x^2-2 x-2.

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico de uma função quadrática, encontrar as interseções com os eixos, além de indicar domínio e imagem. O conteúdo é função polinomial de 2º grau, em que vamos usar raiz, vértice e concavidade para resolver.

Passo 2

O domínio de qualquer função polinomial de grau 2 é todo o conjunto dos números reais. Portanto, para achar as interseções com os eixos, fazemos: para o eixo y, basta x=0:
y(0)=0^2-2cdot0-2=-2
Logo o ponto é (0,−2).
Para o eixo x, colocamos y=0 e resolvemos x^2-2x-2=0. As raízes são dadas por
x=2pmraiz(-2)^2-4cdot1cdot(-2)2cdot1=2pmraiz122=1pmraiz3
Então os pontos são (1-raiz3,0) e (1+raiz3,0).

Passo 3

Para encontrar o vértice usamos xv=-b2a e yv=f(xv). Aqui a=1 e b=-2, então
xv=22=1, yv=1^2-2cdot1-2=-3
O vértice é (1,−3) e a concavidade é para cima (porque a>0).

Passo 4

Com vértice e interceptos, esboçamos uma parábola que abre para cima, simétrica em torno da reta x=1, passando pelos pontos encontrados. Como a parábola abre para cima, seu valor mínimo é no vértice, ou seja ymin=-3. Assim, a imagem é

Resposta

Domínio: (-infty,infty)
Imagem: [-3,infty)
Interseções: eixo y em (0,-2); eixo x em (1-raiz3,0) e (1+raiz3,0).

Exercícios relacionados