Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(21) y=-6 x+12 x-1.

Passo 1

O enunciado pede para a gente construir o gráfico da função racional y=-6x+12x-1, achar onde ela cruza os eixos coordenados, e indicar domínio e imagem. Para isso vamos usar conceitos de função racional: domínio pelo denominador, interceptos pelos zeros de numerador e valor em x=0, e assíntotas para orientar o esboço.

Passo 2

Para encontrar o domínio, basta exigir que o denominador seja diferente de zero. Assim:
2x-1neq0 implies xneqtfrac12
Logo o domínio é todos os reais, exceto x=tfrac12.

Passo 3

Para as interseções com os eixos:
  • Interseção com o eixo x (ou seja, y=0): basta zerar o numerador:
-6x+1=0 implies x=tfrac16,
logo o ponto é (tfrac16,0).
  • Interseção com o eixo y (ou seja, x=0):
y=-6cdot0+12cdot0-1=1-1=-1,
logo o ponto é (0,-1).

Passo 4

Para orientar o desenho, identificamos as assíntotas:
  • Vertical: x=tfrac12 (denominador zero).
  • Horizontal: analisar o limite quando xtopminfty:
limxtopminfty-6x+12x-1 = -62 = -3
Então há uma assíntota horizontal y=-3.

Passo 5

A partir das assíntotas e dos interceptos, esboçamos dois ramos da hipérbole que se aproximam de x=tfrac12 e y=-3.

Passo 6

Para fechar, determinamos a imagem (conjunto-alvo). Note que não existe x tal que y=-3, pois se tentarmos
-6x+12x-1=-3 implies -6x+1=-6x+3 implies 1=3(impossível) í
Portanto a imagem é todos os reais, exceto y=-3.

Resposta

Interseções: com o eixo x em (tfrac16,0) e com o eixo y em (0,-1). Domínio: . Imagem: .

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