Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
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Passo 1
O enunciado pede para a gente construir o gráfico da função racional
, achar onde ela cruza os eixos coordenados, e indicar domínio e imagem. Para isso vamos usar conceitos de função racional: domínio pelo denominador, interceptos pelos zeros de numerador e valor em
, e assíntotas para orientar o esboço.
Passo 2
Para encontrar o domínio, basta exigir que o denominador seja diferente de zero. Assim:
Logo o domínio é todos os reais, exceto
.
Passo 3
Para as interseções com os eixos:
- Interseção com o eixo
(ou seja, ): basta zerar o numerador:
logo o ponto é
.
- Interseção com o eixo
(ou seja, ):
logo o ponto é
.
Passo 4
Para orientar o desenho, identificamos as assíntotas:
- Vertical:
(denominador zero). - Horizontal: analisar o limite quando
:
Então há uma assíntota horizontal
.
Passo 5
A partir das assíntotas e dos interceptos, esboçamos dois ramos da hipérbole que se aproximam de
e
.
Passo 6
Para fechar, determinamos a imagem (conjunto-alvo). Note que não existe
tal que
, pois se tentarmos
Portanto a imagem é todos os reais, exceto
.
Resposta
Interseções: com o eixo x em
e com o eixo y em
. Domínio:
. Imagem:
.