Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(9)
.
(9)
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função definida pela equação y−3=−e^x, encontrarmos suas interseções com os eixos, e indicarmos domínio e imagem. O conteúdo é transformação de função exponencial e precisamos usar as propriedades de e^x e de transformações (reflexão e translação).
Passo 2
Primeiro isolamos y para escrever a função explicitamente. A partir de y−3=−e^x obtemos:
Passo 3
A função y=3−e^x envolve e^x, que está definida para todo x real. Logo, o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 4
Para achar a imagem observamos que e^x>0 para todo x. Então −e^x<0 e y=3+(−e^x)❤️. À medida que x→−∞, e^x→0⁺ e y→3 por baixo; quando x→+∞, e^x→+∞ e y→−∞. Assim:
Passo 5
Para as interseções com os eixos:
– Com o eixo y (x=0): y=3−e^0=3−1=2, logo ponto (0,2).
– Com o eixo x (y=0): 0=3−e^x ⇒ e^x=3 ⇒ x=ln3, logo ponto (ln3,0).
– Com o eixo y (x=0): y=3−e^0=3−1=2, logo ponto (0,2).
– Com o eixo x (y=0): 0=3−e^x ⇒ e^x=3 ⇒ x=ln3, logo ponto (ln3,0).
Passo 6
Para esboçar o gráfico: desenhe o eixo cartesiano; trace a reta horizontal y=3 como assíntota;
marque os pontos (0,2) e (ln3,0); depois desenhe uma curva exponencial decrescente que se aproxima de y=3 à esquerda e vai para −∞ à direita seguindo y=3−e^x.
marque os pontos (0,2) e (ln3,0); depois desenhe uma curva exponencial decrescente que se aproxima de y=3 à esquerda e vai para −∞ à direita seguindo y=3−e^x.
Resposta
Domínio =
; Imagem =
; intercepto em x =
; intercepto em y =
.