Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
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Passo 1
A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função dada implicitamente por
, achar onde ela cruza os eixos, e indicar domínio e imagem. O conteúdo aqui envolve manipular raízes quadradas, ver restrições de domínio, e aplicar transformações de funções (reflexão e translação).
Passo 2
Isolando
para entender melhor a forma da curva. A partir de
subtraímos 2 dos dois lados e obtemos
Essa é a forma explícita que vamos usar para analisar.
Passo 3
Para achar o domínio, lembramos que o radicando precisa ser não negativo. Temos
Logo, o domínio é
Passo 4
Agora os pontos de interseção com os eixos:
- Interseção com o eixo
: basta pôr . Então
Logo cruza o eixoem .
- Interseção com o eixo: pôr dá
Isso não tem solução real, pois é sempre . Portanto não há interseção com o eixo .
Passo 5
Para a imagem (conjunto de valores de
), note que
é sempre
, então
é
, e subtraindo mais 2 temos
No ponto
Passo 6
Para esboçar o gráfico: começa em
(ponto mais alto), e conforme
diminui o valor da raiz cresce, o que faz
decrescer sem limite. É uma curva contínua, suave, reflexo vertical de
e depois transladada 2 unidades para baixo.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Interseção com eixo :
Não há interseção com o eixo .
Imagem:
Interseção com eixo
Não há interseção com o eixo