Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(4) y+2=-raiz-x+4.

Passo 1

A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função dada implicitamente por y+2=-raiz-x+4, achar onde ela cruza os eixos, e indicar domínio e imagem. O conteúdo aqui envolve manipular raízes quadradas, ver restrições de domínio, e aplicar transformações de funções (reflexão e translação).

Passo 2

Isolando y para entender melhor a forma da curva. A partir de
y+2=-raiz-x+4,
subtraímos 2 dos dois lados e obtemos
y=-raiz-x+4,-2
Essa é a forma explícita que vamos usar para analisar.

Passo 3

Para achar o domínio, lembramos que o radicando precisa ser não negativo. Temos
-x+4>=0Longrightarrow -x>=-4Longrightarrow x<=4
Logo, o domínio é xin R: x<=4, ou em interval notation, ( -infty,4].

Passo 4

Agora os pontos de interseção com os eixos:
  • Interseção com o eixo y: basta pôr x=0. Então y+2=-raiz-0+4=-raiz4=-2 Longrightarrow y=-4
    Logo cruza o eixo y em (0,-4).
    - Interseção com o eixo x: pôr y=0
    0+2=-raiz-x+4 Longrightarrow 2=-raiz4-x Longrightarrow raiz4-x=-2Isso não tem solução real, pois raizcdot é sempre >=0. Portanto não há interseção com o eixo x.

Passo 5

Para a imagem (conjunto de valores de y), note que raiz-x+4 é sempre >=0, então -raiz-x+4 é <=0, e subtraindo mais 2 temos
y=-raiz-x+4-2<= -2
No ponto x=4 a raiz vale zero, e y=-2. À medida que xto-infty, a raiz cresce sem limite e yto-infty. Assim a imagem é ( -infty,-2].

Passo 6

Para esboçar o gráfico: começa em (4,-2) (ponto mais alto), e conforme x diminui o valor da raiz cresce, o que faz y decrescer sem limite. É uma curva contínua, suave, reflexo vertical de raiz4-x e depois transladada 2 unidades para baixo.

Resposta

Domínio: ( -infty,4]
Imagem: ( -infty,-2]
Interseção com eixo y: (0,-4)
Não há interseção com o eixo x.

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