Resolva os PVI abaixo utilizando transformada de Laplace com t >= 0 e verifique se a solução encontrada está correta.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=e^-t, y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver o problema de valor inicial y''+4y'+4y=e^-t com y(0)=0 e y'(0)=1, usando transformada de Laplace e depois verificar se o que achamos bate com a equação. O conteúdo aqui envolve propriedades da transformada de Laplace, manipulação algébrica de Y(s) e frações parciais.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace termo a termo. Lembrando que Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0). Fazendo isso, temos:
l(s^2Y(s)-scdot0-1r)+4l(sY(s)-0r)+4Y(s)=1s+1
Agora agrupamos Y(s):
Y(s)l(s^2+4s+4r)-1=1s+1
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Y(s)=1+tfrac1s+1(s+2)^2

Passo 3

Precisamos escrever
Y(s)=1(s+2)^2+1(s+1)(s+2)^2

Passo 4

e usar frações parciais em
1(s+1)(s+2)^2= As+1+ Bs+2+ C(s+2)^2
Encontrando coeficientes, obtemos A=1, B=-1, C=-1. Substituindo de volta dá
Y(s)=1s+2^2+l(1s+1-1s+2-1(s+2)^2r) =1s+1-1s+2

Passo 5

Agora usamos a tabela invertendo cada termo:
y(t)=e^-t-e^-2t

Passo 6

Por fim, conferimos: em t=0, y(0)=1-1=0 e y'(t)=-e^-t+2e^-2t y'(0)=-1+2=1. Substituindo na equação original de segunda ordem também gera e^-t. Tudo confere!

Resposta

y(t)=e{-t}-e{-2t}

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