Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(8) y-2=e^x+1. Lembrar: e approx 2,718.

Passo 1

O enunciado pede pra construir o gráfico da função definida por y-2=e^x+1, achar onde ela cruza os eixos, e indicar domínio e imagem. O conteúdo aqui é função exponencial e suas transformações (deslocamentos). Vamos usar que a exponencial base e é definida para todo x e que e^u>0 sempre.

Passo 2

Pra começar, isolamos y pra ver melhor as transformações. Temos:
y = e^x+1 + 2

Passo 3

Isso é exatamente o gráfico de y=e^x deslocado 1 unidade pra esquerda (por causa do +1 no expoente) e 2 unidades pra cima (por causa do +2 somado).
O domínio de uma exponencial e^x+1 é todo xin(-infty,infty), pois exponenciais estão definidas para qualquer número real.
Como e^x+1>0 para todo x, temos y-2>0, ou seja y>2. Logo a imagem é (2,infty).

Passo 4

Para achar os intersectos com os eixos:
  • Intercepto com o eixo y: basta pôr x=0 em y=e^x+1+2. Então
y(0)=e^0+1+2=e+2approx2.718+2=4.718 Logo o ponto é (0,e+2).
  • Intercepto com o eixo x: seria resolver 0=e^x+1+2, isto é e^x+1=-2. Mas a exponencial nunca é negativa, então não existe solução: não há intercepto em x.

Passo 5

Para desenhar o gráfico, lembramos da assíntota horizontal y=2. Alguns pontos-chave:
  • Quando x=-2, y=e^-1+2approx0.368+2=2.368.
  • Quando x=-1, y=e^0+2=3.
  • Quando x=0, yapprox4.718.
    Ao ir pra xto+infty, yto+infty. Ao ir pra xto-infty, yto2^+. O gráfico segue a forma crescente típica de e^x, mas pousicionado em cima de y=2 e deslocado pra esquerda.
    Aí você faz a curva passando por esses pontos e respeitando a assíntota e o crescimento.

Passo 6

No fim, temos domínio, imagem, interceptos e esboço do gráfico.

Resposta

Domínio: (2,infty). Imagem: y. Intercepto com (0,e+2): x. Não há intercepto com y=2. Assíntota horizontal: .

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