Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(8)
. Lembrar:
.
(8)
Passo 1
O enunciado pede pra construir o gráfico da função definida por
, achar onde ela cruza os eixos, e indicar domínio e imagem. O conteúdo aqui é função exponencial e suas transformações (deslocamentos). Vamos usar que a exponencial base
é definida para todo
e que
sempre.
Passo 2
Pra começar, isolamos
pra ver melhor as transformações. Temos:
Passo 3
Isso é exatamente o gráfico de
deslocado 1 unidade pra esquerda (por causa do
no expoente) e 2 unidades pra cima (por causa do
somado).
O domínio de uma exponencial é todo
, pois exponenciais estão definidas para qualquer número real.
Como para todo
, temos
, ou seja
. Logo a imagem é
.
O domínio de uma exponencial
Como
Passo 4
Para achar os intersectos com os eixos:
- Intercepto com o eixo
: basta pôr em . Então
- Intercepto com o eixo
: seria resolver , isto é . Mas a exponencial nunca é negativa, então não existe solução: não há intercepto em .
Passo 5
Para desenhar o gráfico, lembramos da assíntota horizontal
. Alguns pontos-chave:
- Quando
, . - Quando
, . - Quando
, .
Ao ir pra, . Ao ir pra , . O gráfico segue a forma crescente típica de , mas pousicionado em cima de e deslocado pra esquerda.
Aí você faz a curva passando por esses pontos e respeitando a assíntota e o crescimento.
Passo 6
No fim, temos domínio, imagem, interceptos e esboço do gráfico.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Intercepto com
:
. Não há intercepto com
. Assíntota horizontal:
.