Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(6) y-9=-(x-2)^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida pela equação y - 9 = -l(x - 2r)^2. Isso é uma parábola do segundo grau deslocada no plano. Para resolver, vamos precisar: 1) reescrever em forma padrão y = f(x), 2) identificar vértice e concavidade, 3) achar interseções com os eixos, 4) determinar domínio e imagem e 5) esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar y. A partir de y - 9 = -l(x - 2r)^2, somamos 9 em ambos os lados e obtemos:
y = -l(x - 2r)^2 + 9
Essa forma mostra uma parábola vertical com coeficiente de -1, logo ela abre para baixo. O vértice está no ponto que zera o quadrado, isto é, em x = 2, e o valor de y no vértice é 9. Portanto o vértice é (2,9) e a reta de simetria é x = 2.

Passo 3

Para encontrar as interseções com os eixos coordenados:
  • x-interceptos: colocamos y = 0 em 0 = -l(x - 2r)^2 + 9, então
l(x-2r)^2 = 9 implies x - 2 = pm 3 implies x = 2 pm 3,
dando x = -1 e x = 5. Assim os pontos são (-1,0) e (5,0).
- y-intercepto: colocamos x = 0 em y = -l(0 - 2r)^2 + 9 = -4 + 9 = 5. Logo o ponto é (0,5).

Passo 4

O domínio de qualquer função polinomial (e esta é polinomial de 2.º grau) é todo o conjunto dos números reais:
Domínio = (-infty,infty)í
Como a parábola abre para baixo com vértice em y=9, os valores de y vão de -infty até (9], assim:
Ima>=m = (-infty, 9]

Passo 5

Para esboçar o gráfico, marcamos o vértice em (2,9), desenhamos a reta de simetria x=2, plotamos os pontos de interseção (-1,0), (5,0) e (0,5) e ligamos tudo com a forma de parábola que abre para baixo.

Passo 6

Como resultado final, temos: gráfico de uma parábola com vértice em (2,9) e concavidade para baixo; interseções em (-1,0), (5,0) e (0,5); domínio (-infty,infty) e imagem (-infty,9].

Resposta

Gráfico: parábola vertical que abre para baixo, vértice em (2,9), interceptos em x em (-1,0) e (5,0) e intercepto em y em (0,5). Domínio: (-∞, ∞). Imagem: (-∞, 9].

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