Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(15) y=x+3x+1.

Passo 1

A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função racional y=x+3x+1, encontrar onde ela cruza os eixos coordenados, indicar o domínio e a imagem. O conteúdo gira em torno de funções racionais, domínio, interceptos e assíntotas.

Passo 2

Para achar o domínio de y=tfracx+3x+1 lembramos que não podemos ter divisão por zero. Assim, impondo x+1neq0, obtemos:
xneq -1
Logo, o domínio é todos os reais exceto -1.

Passo 3

O intercepto com o eixo y ocorre em x=0. Substituindo:
y=0+30+1=3
Então o ponto de interseção é (0,3).

Passo 4

O intercepto com o eixo x é onde y=0. Assim, basta zerar o numerador:
x+3=0implies x=-3
O ponto de interseção é (-3,0).

Passo 5

Para identificar assíntotas, fazemos a divisão polinomial de x+3 por x+1. Obtemos:
x+3x+1=1+2x+1
Dessa forma aparece uma assíntota vertical onde o denominador é zero e uma horizontal do termo constante da divisão. A assíntota vertical é dada por
x+1=0implies x=-1
A assíntota horizontal é
y=1

Passo 6

Para ver o comportamento, analisamos limites:
limxto -1^+y=+infty, limxto -1^-y=-infty,
limxto +inftyy=1^+, limxto -inftyy=1^-

Passo 7

Isso confirma duas ramas, uma à direita de x=-1 e outra à esquerda. Com base nisso esboçamos o gráfico aproximado.

Passo 8

Para achar a imagem, isolamos x em função de y:
y=1+2x+1implies y-1=2x+1implies x+1=2y-1implies x=2y-1-1
Como x existe para todo y que não anule o denominador, temos y-1neq0, ou seja, yneq1.

Resposta

Interceptos: eixo x em (-3,0), eixo y em (0,3).
Domínio: Rsetminus-1=(-infty,-1)cup(-1,+infty).
Imagem: Rsetminus1=(-infty,1)cup(1,+infty).
Assíntotas: vertical x=-1 e horizontal y=1.

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