Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
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.
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Passo 1
A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função racional
, encontrar onde ela cruza os eixos coordenados, indicar o domínio e a imagem. O conteúdo gira em torno de funções racionais, domínio, interceptos e assíntotas.
Passo 2
Para achar o domínio de
lembramos que não podemos ter divisão por zero. Assim, impondo
, obtemos:
Logo, o domínio é todos os reais exceto
.
Passo 3
O intercepto com o eixo
ocorre em
. Substituindo:
Então o ponto de interseção é
.
Passo 4
O intercepto com o eixo
é onde
. Assim, basta zerar o numerador:
O ponto de interseção é
.
Passo 5
Para identificar assíntotas, fazemos a divisão polinomial de
por
. Obtemos:
Dessa forma aparece uma assíntota vertical onde o denominador é zero e uma horizontal do termo constante da divisão. A assíntota vertical é dada por
A assíntota horizontal é
Passo 6
Para ver o comportamento, analisamos limites:
Passo 7
Isso confirma duas ramas, uma à direita de
e outra à esquerda. Com base nisso esboçamos o gráfico aproximado.
Passo 8
Para achar a imagem, isolamos
em função de
:
Como
existe para todo
que não anule o denominador, temos
, ou seja,
.
Resposta
Interceptos: eixo
em
, eixo
em
.
Domínio: .
Imagem: .
Assíntotas: vertical e horizontal
.
Domínio:
Imagem:
Assíntotas: vertical