Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace: temos a EDO de segunda ordem
com
e
. Vamos usar propriedades de Laplace e tratamento de impulso de Dirac e de deslocamento de Heaviside.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
e
, obtemos:
Reagrupando,
Logo
Passo 3
Agora dividimos em duas partes:
e
. Vamos tratar cada uma separadamente.
Passo 4
Para
fazemos frações parciais: queremos
Multiplicando por
e igualando coeficientes, obtemos
Passo 5
Invertendo a transformada de Laplace de
:
Passo 6
Para
primeiro achamos a função não deslocada:
com resultado
,
. Então
Pela propriedade do deslocamento,
Passo 7
Combinando as duas partes, a solução geral fica