Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace:
y^prime prime-2 y^prime=1+de

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace: temos a EDO de segunda ordem y'' - 2y' = 1 + de com y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos usar propriedades de Laplace e tratamento de impulso de Dirac e de deslocamento de Heaviside.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1 e Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s), obtemos:
(s^2Y(s)-1)-2,sY(s)=L1+Lde
Reagrupando,
(s^2-2s)Y(s)=1+1s+e^-2s
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Y(s)=1+1ss(s-2)+e^-2ss(s-2)

Passo 3

Agora dividimos em duas partes: Y1(s)=1+1/ss(s-2)=s+1s^2(s-2) e Y2(s)=e^-2ss(s-2). Vamos tratar cada uma separadamente.

Passo 4

Para Y1(s)=s+1s^2(s-2) fazemos frações parciais: queremos
s+1s^2(s-2)=As+Bs^2+Cs-2
Multiplicando por s^2(s-2) e igualando coeficientes, obtemos
A=-tfrac34, B=-tfrac12, C=tfrac34

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace de Y1(s):
y1(t)=-tfrac34,1 -tfrac12,t +tfrac34 e^2t

Passo 6

Para Y2(s)=e^-2scdot1s(s-2) primeiro achamos a função não deslocada:
1s(s-2)=A's+B's-2,
com resultado A'=-tfrac12, B'=tfrac12. Então
g(t)=-tfrac12+tfrac12 e^2t
Pela propriedade do deslocamento,
y2(t)=l(-tfrac12+tfrac12 e^2(t-2)r)u(t-2)

Passo 7

Combinando as duas partes, a solução geral fica
y(t)=-tfrac34 -tfrac12 t +tfrac34 e^2t +l(-tfrac12+tfrac12 e^2(t-2)r)u(t-2)

Resposta

y(t)=-tfrac34 -tfrac12 t +tfrac34 e^2t +l(-tfrac12+tfrac12 e^2(t-2)r)u(t-2)

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