Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(15) y-2=-log 2(4-x).

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função definida por y−2=−log₂(4−x), determinar suas interseções com os eixos coordenados, e indicar domínio e imagem. O conteúdo principal aqui é função logarítmica e suas transformações (reflexões e translações).

Passo 2

Primeiro, isole y e ache o domínio. Reescrevendo temos
y=2-log2(4-x)
Para que log2(4-x) faça sentido precisamos de
4-x>0Longrightarrow x<4
Logo o domínio é ((-
\infty,4)).

Passo 3

Agora calculemos as interseções com os eixos:
Intercepto com o eixo y (x=0):
y(0)=2-log2(4)=2-2=0,
ou seja o ponto (0,0).
Intercepto com o eixo x (y=0):
0=2-log2(4-x)implieslog2(4-x)=2implies4-x=2^2=4implies x=0
De novo surge o ponto (0,0).

Passo 4

Para esboçar o gráfico observe:
  1. A assíntota vertical ocorre quando o argumento do log tende a zero: isso dá x→4⁻, onde y→+∞.
  2. Para x→−∞, temos 4−x→+∞, logo log2(4-x)to+infty e então y=2−(grande)→−∞.
  3. A curva é uma reflexão vertical de y=log₂(4−x) (por causa do sinal negativo) e translação vertical de +2.
    Com isso, a curva cruza a origem, desce para −∞ à esquerda e sobe para +∞ ao se aproximar de x=4 pela esquerda.

Passo 5

Pela definição de função logarítmica transformada, y assume todo valor real: conforme x varia em ((-
\infty,4)), y varia de -infty a +infty. Portanto a imagem é ((-
\infty,+\infty)).

Resposta

Domínio: ((-
\infty,4)). Interseção com eixos: apenas em (0,0). Imagem: ((-
\infty,+\infty)).

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