Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
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.
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Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função definida por y−2=−log₂(4−x), determinar suas interseções com os eixos coordenados, e indicar domínio e imagem. O conteúdo principal aqui é função logarítmica e suas transformações (reflexões e translações).
Passo 2
Primeiro, isole y e ache o domínio. Reescrevendo temos
Para que
faça sentido precisamos de
Logo o domínio é ((-
\infty,4)).
Passo 3
Agora calculemos as interseções com os eixos:
Intercepto com o eixo y (x=0):
Intercepto com o eixo y (x=0):
ou seja o ponto
.
Intercepto com o eixo x (y=0):
Intercepto com o eixo x (y=0):
De novo surge o ponto
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico observe:
- A assíntota vertical ocorre quando o argumento do log tende a zero: isso dá x→4⁻, onde y→+∞.
- Para x→−∞, temos 4−x→+∞, logo
e então y=2−(grande)→−∞. - A curva é uma reflexão vertical de y=log₂(4−x) (por causa do sinal negativo) e translação vertical de +2.
Com isso, a curva cruza a origem, desce para −∞ à esquerda e sobe para +∞ ao se aproximar de x=4 pela esquerda.
Passo 5
Pela definição de função logarítmica transformada, y assume todo valor real: conforme x varia em ((-
\infty,4)), y varia de
a
. Portanto a imagem é ((-
\infty,+\infty)).
Resposta
Domínio: ((-
\infty,4)). Interseção com eixos: apenas em
. Imagem: ((-
\infty,+\infty)).