Exercício 1. Em cada item abaixo, determine o vetor gradiente, o vetor gradiente no ponto P e calcule a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor unitário associado a v.
f(x, y)=y^2x, P=(1,2), v=(23,-raiz53);

Passo 1

Temos a função f(x,y)=y^2x, o ponto P=(1,2) e o vetor vec v=(tfrac23,-tfracraiz53). O que se pede é: (1) o vetor gradiente nabla f, (2) esse gradiente em P e (3) a derivada direcional em P na direção do vetor unitário vec v. Vamos usar derivadas parciais e a definição Du f(P)=nabla f(P)cdot u.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Para x:
partial fpartial x=partialpartial xl(y^2xr)=-y^2x^2
Para y:
partial fpartial y=partialpartial yl(y^2xr)=2yx
Logo,
nabla f(x,y)=l(-y^2x^2,,2yxr)

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(1,2):
nabla f(1,2)=l(-2^21^2,,2cdot21r)=(-4,4)

Passo 4

Verificar que vec v já é unitário:
|vec v|=raizl(tfrac23r)^2+l(-tfracraiz53r)^2=raiztfrac4+59=1
Então a derivada direcional em P é
Dvec vf(1,2)=nabla f(1,2)cdotvec v =(-4,4)cdotl(tfrac23,-tfracraiz53r)=-83-4raiz53=-8+4raiz53

Resposta

-\frac{8+4\sqrt5}{3}

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