(a) Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
seja divergente. Demonstre que, se
então
também é divergente.
(b) Use o item (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
(b) Use o item (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede primeiro que a gente prove um teste de comparação via razão: dado duas séries de termos positivos
e
, se
diverge e
, então
também diverge. Em seguida, usar esse resultado para mostrar que as séries
e
divergem.
Passo 2
Começando a demonstração do item (a), a hipótese
significa que, para algum índice
, sempre que
vale
. Assim, para todo
temos
. Como
diverge, ao somar de
até
obtemos
e, fazendo
, o lado direito vai a
, logo
diverge.
Passo 3
Para o item (b)(i), considere a série de comparação
com
. Sabemos que
diverge (série harmônica) e calcule
Como
, podemos aplicar o resultado do item (a) e concluir que
diverge.
Passo 4
Para o item (b)(ii), tome novamente
. Então
e
. Como
diverge, pelo item (a) a série
também diverge.
Resposta
As duas séries
e
divergem.