(a) Suponha que Sigma an e Sigma bn sejam séries com termos positivos e que Sigma bn seja divergente. Demonstre que, se
lim n infty anbn=infty
então sum an também é divergente.
(b) Use o item (a) para mostrar que as séries divergem.
(i) sumn=2^infty 1ln n
(ii) sumn=1^infty ln nn

Passo 1

O enunciado pede primeiro que a gente prove um teste de comparação via razão: dado duas séries de termos positivos sum an e sum bn, se sum bn diverge e limntoinfty anbn=infty, então sum an também diverge. Em seguida, usar esse resultado para mostrar que as séries sumn=2^infty 1ln n e sumn=1^infty ln nn divergem.

Passo 2

Começando a demonstração do item (a), a hipótese limntoinfty anbn=infty significa que, para algum índice N, sempre que n>= N vale anbn>1. Assim, para todo n>= N temos an>bn. Como sum bn diverge, ao somar de n=N até M> N obtemos
sumn=N^M an ;>=; sumn=N^M bn
e, fazendo Mtoinfty, o lado direito vai a +infty, logo sum an diverge.

Passo 3

Para o item (b)(i), considere a série de comparação sum bn com bn=1/n. Sabemos que sumn=1^infty 1/n diverge (série harmônica) e calcule
anbn = 1/ln n1/n = nln n
Como limntoinfty n/ln n = infty, podemos aplicar o resultado do item (a) e concluir que sum 1/ln n diverge.

Passo 4

Para o item (b)(ii), tome novamente bn=1/n. Então
anbn = (ln n)/n1/n = ln n,
e limntoinfty ln n = infty. Como sum 1/n diverge, pelo item (a) a série sum (ln n)/n também diverge.

Resposta

As duas séries sumn=2^infty 1ln n e sumn=1^infty ln nn divergem.

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