Construir os gráficos das funções reais abaixo.
f(x)=\left|x^{2}-2 x\right|+x+2

Passo 1

Enunciado: construir o gráfico da função real
f(x)=\left|x^{2}-2x\right|+x+2.
O que se pede: desenhar/entender o formato do gráfico de f — isto inclui saber como a função se comporta nos diferentes intervalos, pontos importantes (vértices, pontos de junção, valores em pontos notáveis) e o comportamento quando x\to\pm\infty.
Informações relevantes extraídas do enunciado (tudo que vou usar):
x^{2}-2x = x(x-2),
portanto as raízes da expressão dentro do valor absoluto são x=0 e x=2. Isso indica que a expressão dentro do módulo troca de sinal em x=0 e x=2. Domain: todos os reais \mathbb{R}.

Passo 2

Ideia prática (sem cálculos pesados ainda): para funções com valor absoluto, a técnica padrão é dividir a reta em intervalos onde aquilo dentro do módulo tem sinal constante, e substituir |\cdot| por + ou por - conforme o sinal. Vou fazer isso usando o fato de que x^{2}-2x é positivo fora do intervalo (0,2) e negativo dentro de (0,2). Vou construir a expressão de f em cada intervalo.

Passo 3

Determinar o sinal de x^{2}-2x e obter a função por partes.
Como x^{2}-2x=x(x-2), o produto tem sinal:
  • para x<0: x<0 e x-2<0 então x(x-2)>0 (positivo);
  • para 0<x<2: x>0 e x-2<0 então x(x-2)<0 (negativo);
  • para x>2: x>0 e x-2>0 então x(x-2)>0 (positivo).
Nas fronteiras x=0 e x=2 a expressão é zero.
Logo:
  • Se x\le 0 ou x\ge 2, temos \left|x^{2}-2x\right|=x^{2}-2x.
  • Se 0\le x\le 2, temos \left|x^{2}-2x\right|=-(x^{2}-2x)=-x^{2}+2x.
Substituindo em f:
\text{para }x\le 0:\quad f(x)=x^{2}-2x + x + 2 = x^{2}-x+2,
\text{para }0\le x\le 2:\quad f(x)=-x^{2}+2x + x + 2 = -x^{2}+3x+2,
\text{para }x\ge 2:\quad f(x)=x^{2}-2x + x + 2 = x^{2}-x+2.
Portanto podemos escrever a forma por partes (igual das extremidades):
f(x)= \begin{cases} x^{2}-x+2, & x\le 0,\\[4pt] -x^{2}+3x+2, & 0\le x\le 2,\\[4pt] x^{2}-x+2, & x\ge 2. \end{cases}]

Passo 4

Analisar a peça para x\le 0: \;f_1(x)=x^{2}-x+2.
  • É uma parábola com coeficiente quadrático a=1>0 (abre para cima).
  • Fórmula do vértice de uma parábola ax^{2}+bx+c: abscissa x_v = -\dfrac{b}{2a}. Aqui a=1 e b=-1, logo x_v = -\dfrac{-1}{2\cdot 1}=\dfrac{1}{2}.Observação importante: esse vértice está em x=\dfrac{1}{2}, que NÃO pertence ao intervalo x\le 0. Isso significa que na porção x\le 0 nós veremos apenas a “cauda esquerda” desta parábola, que tende ao infinito quando x\to -\infty e decresce até o ponto x=0 (porque a abscissa do vértice está à direita de 0).
  • Derivada f_1'(x)=2x-1. Para x\le 0 temos f_1'(x)\le -1<0, logo f_1 é estritamente decrescente em todo (-\infty,0].
  • Valor em x=0: f(0)=0^{2}-0+2=2.
  • Limites: \lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty.
Pontos úteis para plotar na parte esquerda: (-1,f(-1)) com
f(-1)=(-1)^{2}-(-1)+2=1+1+2=4,
e o ponto de junção (0,2).

Passo 5

Analisar a peça para 0\le x\le 2: \;f_2(x)=-x^{2}+3x+2.
  • É uma parábola com a=-1<0 (abre para baixo), então aqui teremos um máximo local (e, neste intervalo, máximo global relativo da parte do módulo).
  • Vértice: x_v = -\dfrac{b}{2a} com a=-1, b=3, então x_v = -\dfrac{3}{2\cdot(-1)}=\dfrac{3}{2}=1{,}5,que pertence ao intervalo [0,2]. Bom: o vértice está dentro do intervalo onde essa expressão vale, então veremos o pico da parábola ali.
  • Valor no vértice: f\!\left(\tfrac{3}{2}\right) = -\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} + 3\cdot\tfrac{3}{2} + 2 = -\tfrac{9}{4} + \tfrac{9}{2} + 2.Calcule passo a passo: -\tfrac{9}{4} + \tfrac{9}{2} = -\tfrac{9}{4} + \tfrac{18}{4} = \tfrac{9}{4}. Somando 2=\tfrac{8}{4} \tfrac{17}{4}=4{,}25. Logo o máximo nesta região é f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{17}{4}.
  • Valores nos extremos do intervalo: f(0)=2 \quad\text{(já calculado)},á
f(2) = -4 + 6 + 2 = 4.
  • Derivada f_2'(x)=-2x+3. Zera em x=\tfrac{3}{2}; para 0<x<\tfrac{3}{2} a derivada é positiva (função crescente), para \tfrac{3}{2}<x<2 a derivada é negativa (função decrescente). Assim a parábola sobe de (0,2) até (\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4}) e depois desce até (2,4).
Pontos úteis para plotar na porção interna: (1,f(1)) com
f(1) = -1 + 3 + 2 = 4,
ou seja f(1)=4.

Passo 6

Analisar a peça para x\ge 2: \;f_3(x)=x^{2}-x+2. Nota: é a MESMA fórmula da peça esquerda.
  • Como antes, é uma parábola com a=1>0 (abre para cima). O vértice está em x=\tfrac{1}{2} (fora do domínio x\ge 2), então nessa porção veremos apenas a “cauda direita” da parábola que cresce quando x aumenta.
  • Derivada f_3'(x)=2x-1, para x\ge 2 temos f_3'(x)\ge 3>0, então f é estritamente crescente em [2,\infty).
  • Valor em x=2: f(2)=4 (confirmado).
  • Limite: \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.
Pontos úteis para plotar na parte direita: (3,f(3)) com
f(3)=9 -3 +2 =8.

Passo 7

Verificação de continuidade e diferenciabilidade nas junções x=0 e x=2.
  • Continuidade: calculei f(0) usando ambas as fórmulas e obtive f(0)=2 dos dois lados; calculei f(2) e obtive 4 dos dois lados. Logo f é contínua em x=0 e x=2.
  • Derivadas laterais:
    • Em x=0: derivada à esquerda f_1'(0^-)=2\cdot 0 -1 = -1. Derivada à direita f_2'(0^+)= -2\cdot 0 +3 = 3. Como -1\neq 3, f não é diferenciável em x=0 — há um canto (cusp/quina) ali.
    • Em x=2: derivada pela esquerda f_2'(2^-)= -2\cdot 2 +3 = -1. Derivada pela direita f_3'(2^+)=2\cdot 2 -1 =3. Como -1\neq 3, f também não é diferenciável em x=2. Outro canto.
Portanto o gráfico é contínuo, mas tem cantos agudos em x=0 e x=2.

Passo 8

Resumo dos pontos e do formato — o que realmente plotar no rascunho (passo a passo para desenhar à mão sem calculadora):
  • Pontos fundamentais: (0,2),\quad \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4}\right)=\left(1{,}5,4{,}25\right),\quad (2,4).Outros pontos fáceis: (-1,4), (1,4), (3,8).
  • Comportamento assintótico: \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty (porque nas caudas domina o x^{2}).
  • Monotonicidade por trechos:
    • decrescente em (-\infty,0] até o ponto (0,2);
    • crescente em [0,\tfrac{3}{2}] e decrescente em [\tfrac{3}{2},2] dentro do intervalo central, formando um pico em (\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4});
    • crescente em [2,\infty) a partir de (2,4).
  • Visual: desenhe a parábola de concavidade para cima em x\le 0 terminando em (0,2) com inclinação à esquerda negativa; em [0,2] desenhe a parábola de concavidade para baixo com pico em (\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4}); depois desenhe a mesma parábola para cima para x\ge 2 a partir de (2,4). Lembre-se de marcar que há cantos em x=0 e x=2.

Passo 9

Observações finais didáticas e motivadoras:
  • Técnica geral usada: eliminar o valor absoluto dividindo a reta pelos zeros da expressão interna e tratando cada caso separadamente — uma estratégia que vale para qualquer expressão com módulo.
  • Sempre confirme continuidade e diferenciabilidade nos pontos de junção verificando valores e derivadas laterais.
  • Para praticar: tente desenhar o gráfico apenas com os pontos listados e a informação de concavidade; isso já dá um esboço bastante fiel.

Resposta

f(x)= \begin{cases} x^{2}-x+2, & x\le 0,\\[4pt] -x^{2}+3x+2, & 0\le x\le 2,\\[4pt] x^{2}-x+2, & x\ge 2, \end{cases}
Pontos e valores importantes: (0,2), \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4}\right), (2,4); comportamentos: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty; cantos (não diferenciável) em x=0 e x=2.]

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