Construir os gráficos das funções reais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função
Informações dadas que vamos usar:
e que o valor absoluto tem um ponto em que a expressão dentro do módulo muda de sinal, aqui em
.
O objetivo é: obter uma descrição prática (peça a peça) da função e desenhar o gráfico correspondente.
O objetivo é: obter uma descrição prática (peça a peça) da função e desenhar o gráfico correspondente.
Passo 2
Como resolver funções com valor absoluto: regra básica e explicação didática.
Para qualquer expressão
Isto significa que, para estudar
(ou seja
) e
(ou seja
). Esse procedimento transforma o módulo em expressões sem o símbolo
, o que facilita a álgebra e o desenho do gráfico.]
Passo 3
Caso
: aqui
, então
.
Substituindo em :
Substituindo em
Agora somamos os termos semelhantes:
e
. Logo
Interpretação geométrica: para
a função é uma reta de inclinação
(slope
) e intercepto em
quando estendida, mas válida só a partir de
.
Passo 4
Caso
: aqui
, então
.
Substituindo em :
Substituindo em
Agora repare que
, então resta
Interpretação geométrica: para
a função é constante e vale
; no gráfico isso é uma linha horizontal
para todos os
menores que
.
Passo 5
Verificação no ponto
(continuidade e valor):
Calcule direto na definição original:
Calcule direto na definição original:
Pela forma peça-a-peça temos à esquerda (
)
e à direita (
)
. Avaliando a direita em
:
Portanto o valor à direita e à esquerda coincidem em
. Conclusão: a função é contínua em
e no gráfico haverá um canto (mudança de inclinação) em
, com o ponto
pertencendo ao gráfico.
Passo 6
Resumo geométrico para desenhar:
- Para
: desenhar a linha horizontal . Pode-se marcar pontos de referência: , . - No ponto
: marcar um ponto preenchido (pois ). - Para
: desenhar a reta . Pontos úteis: (já usado), porque , . - Indicar que para
a linha é horizontal (inclinação ) e para a inclinação é (reta crescente). - Não há interseção com o eixo
(não existe tal que ), porque para e para a equação dá que não está na região . Logo nenhuma raiz real.
Passo 7
Domínio e imagem (intervalo de valores) da função:
- Domínio: todos os reais, isto é
, pois a expressão está bem definida para qualquer . - Imagem (conjunto de valores possíveis): o menor valor que
assume é (ocorre para todo e também em ), e para a reta cresce sem limite. Logo a imagem é
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Ponto de canto/continuidade: .]
Imagem:
Ponto de canto/continuidade: