Construir os gráficos das funções reais abaixo.
f(x)=|x-3|+x+2

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
f(x)=|x-3|+x+2.
Informações dadas que vamos usar:
\text{a expressão da função } f(x)=|x-3|+x+2,ãçã
e que o valor absoluto tem um ponto em que a expressão dentro do módulo muda de sinal, aqui em x=3.
O objetivo é: obter uma descrição prática (peça a peça) da função e desenhar o gráfico correspondente.

Passo 2

Como resolver funções com valor absoluto: regra básica e explicação didática.
Para qualquer expressão \,u\:\) vale \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -\,u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Isto significa que, para estudar f(x)=|x-3|+x+2\], devemos separar os casos em que \(x-3\ge 0 (ou seja x\ge3) e x-3<0 (ou seja x<3). Esse procedimento transforma o módulo em expressões sem o símbolo |\cdot|, o que facilita a álgebra e o desenho do gráfico.]

Passo 3

Caso x\ge 3: aqui x-3\ge 0, então |x-3|=x-3.
Substituindo em f:
f(x)= (x-3) + x + 2.
Agora somamos os termos semelhantes: x+x=2x e -3+2=-1. Logo
f(x)=2x-1\qquad\text{para }x\ge 3.
Interpretação geométrica: para x\ge3 a função é uma reta de inclinação 2 (slope 2) e intercepto em y=-1 quando estendida, mas válida só a partir de x=3.

Passo 4

Caso x<3: aqui x-3<0, então |x-3|=-(x-3)=3-x.
Substituindo em f:
f(x)=(3-x)+x+2.
Agora repare que -x+x=0, então resta
f(x)=3+2=5\qquad\text{para }x<3.
Interpretação geométrica: para x<3 a função é constante e vale 5; no gráfico isso é uma linha horizontal y=5 para todos os x menores que 3.

Passo 5

Verificação no ponto x=3 (continuidade e valor):
Calcule direto na definição original:
f(3)=|3-3|+3+2=0+3+2=5.
Pela forma peça-a-peça temos à esquerda ( x<3) f(x)=5 e à direita ( x\ge3) f(x)=2x-1. Avaliando a direita em x=3:
2\cdot 3 -1 =6-1=5.
Portanto o valor à direita e à esquerda coincidem em 5. Conclusão: a função é contínua em x=3 e no gráfico haverá um canto (mudança de inclinação) em (3,5), com o ponto (3,5) pertencendo ao gráfico.

Passo 6

Resumo geométrico para desenhar:
  • Para x<3: desenhar a linha horizontal y=5. Pode-se marcar pontos de referência: (0,5), (2,5).
  • No ponto (3,5): marcar um ponto preenchido (pois f(3)=5).
  • Para x\ge3: desenhar a reta y=2x-1. Pontos úteis: (3,5) (já usado), (4,7) porque 2\cdot4-1=7, (5,9).
  • Indicar que para x<3 a linha é horizontal (inclinação 0) e para x\ge3 a inclinação é 2 (reta crescente).
  • Não há interseção com o eixo x (não existe x tal que f(x)=0), porque para x<3 f=5 e para x\ge3 a equação 2x-1=0 x=\tfrac{1}{2} que não está na região x\ge3. Logo nenhuma raiz real.

Passo 7

Domínio e imagem (intervalo de valores) da função:
  • Domínio: todos os reais, isto é \mathbb{R}, pois a expressão está bem definida para qualquer x.
  • Imagem (conjunto de valores possíveis): o menor valor que f assume é 5 (ocorre para todo x<3 e também em x=3), e para x\ge3 a reta 2x-1 cresce sem limite. Logo a imagem é
[5,\infty).

Resposta

f(x)=\begin{cases} 5, & x<3,\\[4pt] 2x-1, & x\ge 3, \end{cases}
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: [5,\infty).
Ponto de canto/continuidade: (3,5).]

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