Construir os gráficos das funções reais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Pergunta explícita: construir (desenhar/descrição) o gráfico de
. Vou identificar pontos importantes, obter a forma peça a peça e descrever como traçar o gráfico.
Passo 2
Encontrar o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. Esse ponto é solução de
Resolvendo:
Esse valor,
, é o ponto crítico (também chamado de vértice neste caso), onde trocamos a expressão do valor absoluto.
Passo 3
Explicar como eliminar o valor absoluto de forma didática:
Por definição
Por definição
Aqui
. Então consideramos dois casos:
- Se
(ou seja ), então . - Se
(ou seja ), então .]
Passo 4
Montar a função peça a peça substituindo o valor absoluto:
Para
:
Para
:
Logo a forma peça a peça é
Passo 5
Verificar continuidade no ponto
(obrigatório ao construir gráfico):
Calcular ambos os lados em .
Calcular ambos os lados em
Usando a peça da esquerda (mesmo que estritamente valha para
, é útil para o limite):
Usando a peça da direita:
Como os dois valores coincidem,
é contínua em
e o ponto de união é
que é o vértice mínimo da curva.
Passo 6
Caracterizar as retas (pendentes, interceptos) de cada peça para desenhar:
Para
: reta
.
- Coeficiente angular (inclinação)
— reta decrescente. - Intercepto em
(quando ): . Portanto ponto . - Intercepto
(resolver ): . Portanto ponto .
Para
: reta
.
- Coeficiente angular
— reta crescente, mais inclinada. - Intercepto em
(quando ): , mas atenção: esse valor corresponde à fórmula da peça direita e é aplicável só para ; no entanto o valor real de deve vir da peça que vale para . Como , usamos a peça esquerda e já calculamos . Portanto o ponto é o correto. - Intercepto
(resolver ): . Portanto ponto , que pertence à peça direita (pois ).
Observação importante: a peça direita daria
em
, mas não usamos isso porque
está na região
. Sempre respeitar o domínio de cada peça.
Passo 7
Comportamento para
e mínimo global:
- Para
, usar (pois ): . - Para
, usar (pois ): como , , então .
Portanto a função cresce paranos dois extremos e tem um único mínimo global no vértice .
Intervalos de monotonicidade:
- Decrescente em
(pendente ). - Crescente em
(pendente ).
Intervalo imagem (contraste/alcance):
- Valor mínimo
. - Assim a imagem é
.
Passo 8
Instruções práticas para desenhar o gráfico na folha (passo a passo):
- Marque o ponto vértice
. - Marque os interceptos já encontrados:
, e . - Desenhe a reta que passa por
e estendendo para a esquerda; essa reta tem equação . - Desenhe a reta que passa por
(observação: esse ponto está na peça esquerda) e por e continue para a direita; essa reta tem equação . - As duas retas se encontram exatamente em
; marque o vértice como ponto cheio (continuidade). - Verifique que as retas vão para
em ambas as extremidades.
Pequeno exemplo para fixar a técnica: se você tivesse
, faz-se a mesma ideia: raiz interna
, peças
para
e
para
, vértice
e formato em V. O procedimento é análogo.
Resposta
Vértice (mínimo):
.\nInterceptos:
,
,
.\nDomínio:
.\nImagem:
.]