Construir os gráficos das funções reais abaixo.
f(x)=|2 x-1|+x-2

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
f(x)=|2x-1|+x-2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) a expressão contém valor absoluto }|2x-1|;ãé
\text{(ii) a função é definida para todo }x\in\mathbb{R}\text{ (não há restrição no domínio).}çãéãáçãí
Pergunta explícita: construir (desenhar/descrição) o gráfico de f. Vou identificar pontos importantes, obter a forma peça a peça e descrever como traçar o gráfico.

Passo 2

Encontrar o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. Esse ponto é solução de
2x-1=0.
Resolvendo:
2x=1\implies x=\tfrac{1}{2}.
Esse valor, x=\tfrac{1}{2}, é o ponto crítico (também chamado de vértice neste caso), onde trocamos a expressão do valor absoluto.

Passo 3

Explicar como eliminar o valor absoluto de forma didática:
Por definição
|A|=\begin{cases} A, & \text{se }A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se }A<0. \end{cases}
Aqui A=2x-1. Então consideramos dois casos:
  • Se 2x-1\ge0 (ou seja x\ge\tfrac{1}{2}), então |2x-1|=2x-1.
  • Se 2x-1<0 (ou seja x<\tfrac{1}{2}), então |2x-1|=-(2x-1)=1-2x.]

Passo 4

Montar a função peça a peça substituindo o valor absoluto:
Para x<\tfrac{1}{2}:
f(x)=(1-2x)+x-2 = -x-1.
Para x\ge\tfrac{1}{2}:
f(x)=(2x-1)+x-2 = 3x-3.
Logo a forma peça a peça é
f(x)=\begin{cases} -x-1, & x<\tfrac{1}{2},\\[4pt] 3x-3, & x\ge\tfrac{1}{2}. \end{cases}]

Passo 5

Verificar continuidade no ponto x=\tfrac{1}{2} (obrigatório ao construir gráfico):
Calcular ambos os lados em x=\tfrac{1}{2}.
Usando a peça da esquerda (mesmo que estritamente valha para x<\tfrac{1}{2}, é útil para o limite):
\text{lim}_{x\to(\tfrac{1}{2})^-}f(x) = -\tfrac{1}{2}-1 = -\tfrac{3}{2}.
Usando a peça da direita:
f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=3\cdot\tfrac{1}{2}-3 = \tfrac{3}{2}-3 = -\tfrac{3}{2}.
Como os dois valores coincidem, f é contínua em x=\tfrac{1}{2} e o ponto de união é
\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right),
que é o vértice mínimo da curva.

Passo 6

Caracterizar as retas (pendentes, interceptos) de cada peça para desenhar:
Para x<\tfrac{1}{2}: reta y=-x-1.
  • Coeficiente angular (inclinação) -1 — reta decrescente.
  • Intercepto em y (quando x=0): f(0)=-0-1=-1. Portanto ponto (0,-1).
  • Intercepto x (resolver -x-1=0): x=-1. Portanto ponto (-1,0).
Para x\ge\tfrac{1}{2}: reta y=3x-3.
  • Coeficiente angular 3 — reta crescente, mais inclinada.
  • Intercepto em y (quando x=0): f(0)=3\cdot0-3=-3, mas atenção: esse valor corresponde à fórmula da peça direita e é aplicável só para x\ge\tfrac{1}{2}; no entanto o valor real de f(0) deve vir da peça que vale para x=0. Como 0<\tfrac{1}{2}, usamos a peça esquerda e já calculamos f(0)=-1. Portanto o ponto (0,-1) é o correto.
  • Intercepto x (resolver 3x-3=0): x=1. Portanto ponto (1,0), que pertence à peça direita (pois 1\ge\tfrac{1}{2}).
Observação importante: a peça direita daria y=-3 em x=0, mas não usamos isso porque x=0 está na região x<\tfrac{1}{2}. Sempre respeitar o domínio de cada peça.

Passo 7

Comportamento para x\to\pm\infty e mínimo global:
  • Para x\to+\infty, usar f(x)=3x-3 (pois x\ge\tfrac{1}{2}): f(x)\to+\infty.
  • Para x\to-\infty, usar f(x)=-x-1 (pois x<\tfrac{1}{2}): como x\to-\infty, -x\to+\infty, então f(x)\to+\infty.
    Portanto a função cresce para +\infty nos dois extremos e tem um único mínimo global no vértice \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right).
Intervalos de monotonicidade:
  • Decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{2}] (pendente -1).
  • Crescente em [\tfrac{1}{2},+\infty) (pendente 3).
Intervalo imagem (contraste/alcance):
  • Valor mínimo f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\tfrac{3}{2}.
  • Assim a imagem é [-\tfrac{3}{2},+\infty).

Passo 8

Instruções práticas para desenhar o gráfico na folha (passo a passo):
  1. Marque o ponto vértice \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right).
  2. Marque os interceptos já encontrados: (-1,0), (0,-1) e (1,0).
  3. Desenhe a reta que passa por (-1,0) e (0,-1) estendendo para a esquerda; essa reta tem equação y=-x-1.
  4. Desenhe a reta que passa por (0,-1) (observação: esse ponto está na peça esquerda) e por (1,0) e continue para a direita; essa reta tem equação y=3x-3.
  5. As duas retas se encontram exatamente em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right); marque o vértice como ponto cheio (continuidade).
  6. Verifique que as retas vão para +\infty em ambas as extremidades.
Pequeno exemplo para fixar a técnica: se você tivesse g(x)=|x|-1, faz-se a mesma ideia: raiz interna x=0, peças g(x)=x-1 para x\ge0 e g(x)=-x-1 para x<0, vértice (0,-1) e formato em V. O procedimento é análogo.

Resposta

f(x)=\begin{cases} -x-1, & x<\tfrac{1}{2},\\[4pt] 3x-3, & x\ge\tfrac{1}{2}. \end{cases}
Vértice (mínimo): \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right).\nInterceptos: (-1,0), (0,-1), (1,0).\nDomínio: (-\infty,+\infty).\nImagem: \left[-\tfrac{3}{2},+\infty\right).]

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