Os dois dão o mesmo valor \frac{13}{3}, então f é contínua em x=-\frac{2}{3}. O ponto de junção é \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right).
Passo 5
Interpretar geometricamente cada trecho (forma de reta no formato inclinação-intercepto). Relembrando: uma reta y=mx+b tem inclinação m (quanto sobe para cada aumento unitário em x) e intercepto b (valor em x=0).
Para x< -\frac{2}{3}: f(x)=-5x+1 tem inclinação m=-5 (muito íngreme e negativa) e intercepto em y dado por 1 (ou seja, passa por (0,1) se estendida, mas atenção: esse ponto x=0 não pertence ao domínio dessa peça; serve só para entender a reta).
Para x\ge -\frac{2}{3}: f(x)=x+5 tem inclinação m=1 (reta com 45° aproximado) e intercepto 5 (passa por (0,5), e esse ponto pertence a esta peça).
Passo 6
Calcular pontos úteis para desenhar (faça uma tabela mental ou no papel):
Ponto de junção (já encontrado): \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right)\approx(-0{,}666,4{,}333).
Intercepto em y: calcular f(0). Como 0\ge -\frac{2}{3}, usamos f(0)=0+5=5. Então (0,5) está no ramo direito.
Alguns pontos à direita (usar f(x)=x+5):
x=1 dá f(1)=1+5=6 → (1,6).
x=2 dá f(2)=7 → (2,7).
Alguns pontos à esquerda (usar f(x)=-5x+1):
x=-1 dá f(-1)=-5(-1)+1=6 → (-1,6).
x=-2 dá f(-2)=-5(-2)+1=11 → (-2,11).
Observação prática: os pontos (-1,6) e (1,6) mostram simetria vertical do valor 6 em lados opostos do mínimo, mas as inclinações são diferentes; a função é mais “aberta” à direita.
Passo 7
Analisar comportamento e mínima/máxima:
Em x\ge -\frac{2}{3} a inclinação é +1 (função cresce para a direita).
Em x< -\frac{2}{3} a inclinação é -5 (função cresce ao ir para a esquerda; equivalente: conforme aumentamos x dentro dessa região, f diminui).
Portanto o ponto \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right) é um mínimo global (é o menor valor que a função atinge).
Não há raízes reais porque as equações x+5=0 e -5x+1=0 dão x=-5 e x=\frac{1}{5} respectivamente, mas ambos ficam fora da região onde a equação correspondente vale; assim f(x) não se anula para nenhum x. Em termos simples, f(x)>0 para todo x.
Passo 8
Como desenhar na prática (passo a passo para a prova):
Marque o ponto de quebra x=-\frac{2}{3} no eixo x.
Calcule e marque o ponto de junção \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right).
Desenhe a reta com inclinação -5 passando por esse ponto para a esquerda (use mais um ponto calculado, por exemplo (-1,6), para garantir a direção).
Desenhe a reta com inclinação +1 passando por esse ponto para a direita (use (0,5) e (1,6) para verificar).
Verifique continuidade no ponto de junção (não há buraco, é ponto conectado).
Observe que a curva forma um “V” assimétrico com mínimo em \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right).