Construir os gráficos das funções reais abaixo.
f(x)=|3 x+2|-2 x+3

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função real
f(x)=|3x+2|-2x+3.
Informações dadas:
  • A expressão contém um valor absoluto |3x+2|.
  • Precisamos representar graficamente f(x) para todos os x\in\mathbb{R}.
  • Não há outras figuras fornecidas; vamos usar a própria fórmula para obter uma expressão por pedaços e, a partir daí, desenhar.

Passo 2

Entender o valor absoluto e como transformá‑lo em duas expressões lineares. Regra prática:
|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\\\ -A, & \text{se } A<0.
Aqui A=3x+2. Primeiro achamos onde 3x+2 muda de sinal: resolvemos
3x+2=0 \implies x=-\frac{2}{3}.
Logo temos duas regiões: x\ge -\frac{2}{3} (onde 3x+2\ge0) e x< -\frac{2}{3} (onde 3x+2<0).

Passo 3

Escrever f(x) em cada região aplicando a regra do valor absoluto.
  • Para x\ge -\frac{2}{3}: temos |3x+2|=3x+2. Então
f(x)=(3x+2)-2x+3 = x+5.
  • Para x< -\frac{2}{3}: temos |3x+2|=-(3x+2)=-3x-2. Então
f(x)=(-3x-2)-2x+3 = -5x+1.
Portanto a função é linear por partes; escrevemos em bloco:
f(x)=\begin{cases} -5x+1, & x< -\frac{2}{3},\\[4pt] x+5, & x\ge -\frac{2}{3}. \end{cases}]

Passo 4

Verificar continuidade no ponto de quebra x=-\frac{2}{3}. Calculamos os valores das duas expressões em x=-\frac{2}{3}.
Para x+5 (região direita):
\left(-\frac{2}{3}\right)+5 = -\frac{2}{3}+\frac{15}{3}=\frac{13}{3}.
Para -5x+1 (região esquerda):
-5\left(-\frac{2}{3}\right)+1 = \frac{10}{3}+1=\frac{10}{3}+\frac{3}{3}=\frac{13}{3}.
Os dois dão o mesmo valor \frac{13}{3}, então f é contínua em x=-\frac{2}{3}. O ponto de junção é \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right).

Passo 5

Interpretar geometricamente cada trecho (forma de reta no formato inclinação-intercepto). Relembrando: uma reta y=mx+b tem inclinação m (quanto sobe para cada aumento unitário em x) e intercepto b (valor em x=0).
  • Para x< -\frac{2}{3}: f(x)=-5x+1 tem inclinação m=-5 (muito íngreme e negativa) e intercepto em y dado por 1 (ou seja, passa por (0,1) se estendida, mas atenção: esse ponto x=0 não pertence ao domínio dessa peça; serve só para entender a reta).
  • Para x\ge -\frac{2}{3}: f(x)=x+5 tem inclinação m=1 (reta com 45° aproximado) e intercepto 5 (passa por (0,5), e esse ponto pertence a esta peça).

Passo 6

Calcular pontos úteis para desenhar (faça uma tabela mental ou no papel):
  • Ponto de junção (já encontrado): \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right)\approx(-0{,}666,4{,}333).
  • Intercepto em y: calcular f(0). Como 0\ge -\frac{2}{3}, usamos f(0)=0+5=5. Então (0,5) está no ramo direito.
  • Alguns pontos à direita (usar f(x)=x+5):
    • x=1 f(1)=1+5=6 (1,6).
    • x=2 f(2)=7 (2,7).
  • Alguns pontos à esquerda (usar f(x)=-5x+1):
    • x=-1 f(-1)=-5(-1)+1=6 (-1,6).
    • x=-2 f(-2)=-5(-2)+1=11 (-2,11).
Observação prática: os pontos (-1,6) e (1,6) mostram simetria vertical do valor 6 em lados opostos do mínimo, mas as inclinações são diferentes; a função é mais “aberta” à direita.

Passo 7

Analisar comportamento e mínima/máxima:
  • Em x\ge -\frac{2}{3} a inclinação é +1 (função cresce para a direita).
  • Em x< -\frac{2}{3} a inclinação é -5 (função cresce ao ir para a esquerda; equivalente: conforme aumentamos x dentro dessa região, f diminui).
  • Portanto o ponto \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right) é um mínimo global (é o menor valor que a função atinge).
  • Não há raízes reais porque as equações x+5=0 e -5x+1=0 dão x=-5 e x=\frac{1}{5} respectivamente, mas ambos ficam fora da região onde a equação correspondente vale; assim f(x) não se anula para nenhum x. Em termos simples, f(x)>0 para todo x.

Passo 8

Como desenhar na prática (passo a passo para a prova):
  1. Marque o ponto de quebra x=-\frac{2}{3} no eixo x.
  2. Calcule e marque o ponto de junção \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right).
  3. Desenhe a reta com inclinação -5 passando por esse ponto para a esquerda (use mais um ponto calculado, por exemplo (-1,6), para garantir a direção).
  4. Desenhe a reta com inclinação +1 passando por esse ponto para a direita (use (0,5) e (1,6) para verificar).
  5. Verifique continuidade no ponto de junção (não há buraco, é ponto conectado).
  6. Observe que a curva forma um “V” assimétrico com mínimo em \left(-\frac{2}{3},\frac{13}{3}\right).

Resposta

f(x)=\begin{cases} -5x+1, & x< -\dfrac{2}{3},\\[6pt] x+5, & x\ge -\dfrac{2}{3}. \end{cases}
Ponto de mínimo: \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{13}{3}\right).\nIntercepto em y: (0,5).\nNão há raízes reais ( f(x)>0 para todo x).]

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