Construir os gráficos das funções reais abaixo.
f(x)=|x+1|-x+3

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função real
f(x)=|x+1|-x+3.
Informações dadas e o que precisamos obter:
\text{- a expressão da função está definida para todos os }x\in\mathbb{R}.ãçãá
\text{- precisamos transformar a expressão envolvendo valor absoluto em uma forma peça a peça (piecewise) e então desenhar o gráfico: identificar as retas/segmentos, pontos importantes e continuidade.}ãççãá

Passo 2

Regra do valor absoluto (a ideia que vamos usar): para qualquer expressão \,u\), \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se }u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se }u<0. \end{cases}
Aqui tomamos u=x+1\]. Então se \(x+1\ge -1+1=0 isto é se x\ge -1, usamos |x+1|=x+1. Se x+1<0 isto é se x<-1, usamos |x+1|=-(x+1)=-x-1.]

Passo 3

Avaliação para a região x\ge -1. Substituímos |x+1|=x+1 em f:
f(x)=(x+1)-x+3.
Agora simplificamos passo a passo: primeiro agrupamos termos com x:
(x+1)-x+3 = x - x + 1 + 3.
Como x-x=0, sobra
f(x)=1+3=4.
Portanto, para x\ge -1 a função é constante e vale 4.

Passo 4

Avaliação para a região x< -1. Substituímos |x+1|=-x-1 em f:
f(x)=(-x-1)-x+3.
Agora simplificamos passo a passo: somamos os termos em x e os termos constantes separadamente:
(-x-1)-x+3 = -x - x -1 +3 = -2x +2.
Portanto, para x< -1 a função é a reta f(x)=-2x+2.

Passo 5

Escrevemos a função em forma peça a peça (essa é a forma que usamos para desenhar):
f(x)=\begin{cases} -2x+2, & x< -1,\\[4pt] 4, & x\ge -1. \end{cases}
Vamos verificar a continuidade em x=-1: calculamos o valor à esquerda quando x\to -1^-:
\lim_{x\to -1^-}(-2x+2) = -2(-1)+2 = 2+2 = 4.
E o valor para x\ge -1 é 4. Logo a função tem valor 4 em x=-1 e é contínua aí (sem salto).]

Passo 6

Identificamos pontos e comportamento para desenhar:
\text{- ponto de junção: }(-1,4)\text{ — deve ser um ponto preenchido (inclusivo).}çã
Para a reta da esquerda ( x< -1, f(x)=-2x+2):
\text{escolhemos }x=-2 \Rightarrow f(-2) = -2(-2)+2 = 6,
assim temos o ponto (-2,6). A reta tem coeficiente angular -2 (significa que, ao aumentar x em 1, f diminui em 2). À medida que x\to -\infty, f(x)\to +\infty.
Para a parte direita ( x\ge -1), a função é a linha horizontal y=4 saindo do ponto (-1,4) para a direita até +\infty. Por exemplo, f(0)=4, f(1)=4, etc.

Passo 7

Como desenhar sem calculadora (passo a passo prático):
\text{1) Marque a abscissa }x=-1\text{ no eixo }x.
\text{2) Plote o ponto }(-1,4)\text{ (ponto fechado).}
\text{3) Para }x< -1\text{, desenhe a reta passando por }(-1,4)\text{ com inclinação }-2\text{ para a esquerda (por exemplo passe também por }(-2,6)\text{).}çãé
\text{4) Para }x\ge -1\text{, desenhe a linha horizontal }y=4\text{ começando em }(-1,4)\text{ e seguindo para a direita.}ç
Assim você obtém o gráfico completo: uma reta com inclinação -2 à esquerda que encontra o ponto (-1,4) e, à direita, uma reta horizontal y=4.

Passo 8

Resumo e interpretação qualitativa:
\text{- A função não tem zeros em }x\ge -1\text{ porque lá é }4\neq 0.çããáé
\text{- A parte à esquerda é uma reta com declive negativo que cresce para +\infty quando vamos para }x\to -\infty.àé
\text{- A função é contínua em todo \(\mathbb{R}\) e suave exceto pela mudança de fórmula (mas sem salto) em \(x=-1\).}çãéíçó
Vai dar tudo certo na prova — desenhar essa peça a peça é direto e rápido quando você lembra da regra do valor absoluto!

Resposta

f(x)=\begin{cases} -2x+2, & x< -1,\\[4pt] 4, & x\ge -1. \end{cases}]

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