Construir os gráficos das seguintes funções periódicas. Diga, o conjunto imagem, o domínio e o período de cada.
Passo 1
O enunciado pede: construir o gráfico da função periódica
e indicar (1) o domínio, (2) o conjunto imagem e (3) o período. A informação dada é apenas a expressão da função
. Vou trabalhar com ela e explicar passo a passo como obter o gráfico e as propriedades pedidas.
Passo 2
Lembrete importante sobre
(vou explicar porque isso é útil):
- Definição:
. Portanto não está definida quando . - Zeros e alguns pontos:
. - Assíntotas verticais: como
em ( ), tem assíntotas verticais nesses pontos; ao aproximar-se de uma assíntota pela direita/ esquerda a função tende a . - Período:
para todo em que ambos os lados estão definidos; portanto o período fundamental de é . - Imagem: em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas
assume todos os valores reais, ou seja . - Monotonicidade: a derivada
é positiva (onde definida), portanto é estritamente crescente em cada intervalo de definição.
Estas propriedades serão transferidas para
de forma direta (só há uma translação vertical).
Passo 3
Como
não está definida quando
, a mesma restrição vale para
. Logo
Portanto o domínio é
Passo 4
Para qualquer
onde as expressões existem:
pois
. Logo
é periódica de período
. Para ver que
é o menor período positivo note que se um
satisfizesse
para todo
(onde definido) então
teria de ser múltiplo de
; o menor múltiplo positivo é
. Portanto o período fundamental é
.
Passo 5
Como
, para qualquer
existe
tal que
. Então
atinge todo real. Em termos diretos:
Passo 6
- Desenhar as assíntotas verticais em
para vários (por exemplo dão ). - Tomar o intervalo fundamental
. Neste intervalo varia de a e é estritamente crescente; então também varia de a e é estritamente crescente. - Pontos úteis no intervalo
: -
: então . Marcar . -
: então . Marcar . -
: então . Marcar .
-
- Comportamento junto às assíntotas no intervalo citado:
-
. -
.
-
- Repetir o mesmo padrão deslocado horizontalmente por
para todos os inteiros . Ou seja, o padrão no intervalo é igual ao do intervalo fundamental, apenas transladíssimo em .
Dica prática para a prova: desenhe primeiro o gráfico de
no intervalo
com as marcas em
e depois mova todo o gráfico para cima em uma unidade para obter
. Não esqueça de repetir o padrão a cada
e de marcar as assíntotas.
Passo 7
Em cada intervalo de definição
temos
logo
é estritamente crescente e contínua nesses intervalos. Entre intervalos há descontinuidade infinita (assíntotas verticais).