Construir os gráficos das seguintes funções periódicas. Diga, o conjunto imagem, o domínio e o período de cada.
f(x)=1+\tan x

Passo 1

O enunciado pede: construir o gráfico da função periódica f(x)=1+\tan x e indicar (1) o domínio, (2) o conjunto imagem e (3) o período. A informação dada é apenas a expressão da função f(x)=1+\tan x. Vou trabalhar com ela e explicar passo a passo como obter o gráfico e as propriedades pedidas.

Passo 2

Lembrete importante sobre \tan x (vou explicar porque isso é útil):
  • Definição: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Portanto \tan x não está definida quando \cos x=0.
  • Zeros e alguns pontos: \tan 0=0,\; \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1,\; \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1.
  • Assíntotas verticais: como \cos x=0 em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ( k\in\mathbb{Z}), \tan x tem assíntotas verticais nesses pontos; ao aproximar-se de uma assíntota pela direita/ esquerda a função tende a \pm\infty.
  • Período: \tan(x+\pi)=\tan x para todo x em que ambos os lados estão definidos; portanto o período fundamental de \tan é \pi.
  • Imagem: em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas \tan assume todos os valores reais, ou seja \operatorname{Im}(\tan)=\mathbb{R}.
  • Monotonicidade: a derivada \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x é positiva (onde definida), portanto \tan x é estritamente crescente em cada intervalo de definição.
Estas propriedades serão transferidas para f(x)=1+\tan x de forma direta (só há uma translação vertical).

Passo 3

Como \tan x não está definida quando \cos x=0, a mesma restrição vale para f(x)=1+\tan x. Logo
\cos x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\} =\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right).

Passo 4

Para qualquer x onde as expressões existem:
f(x+\pi)=1+\tan(x+\pi)=1+\tan x=f(x),
pois \tan(x+\pi)=\tan x. Logo f é periódica de período \pi. Para ver que \pi é o menor período positivo note que se um T>0 satisfizesse \tan(x+T)=\tan x para todo x (onde definido) então T teria de ser múltiplo de \pi; o menor múltiplo positivo é \pi. Portanto o período fundamental é \pi.

Passo 5

Como \operatorname{Im}(\tan)=\mathbb{R}, para qualquer y\in\mathbb{R} existe x tal que \tan x = y-1. Então 1+\tan x atinge todo real. Em termos diretos:
\operatorname{Im}(f)=\{1+t\mid t\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}.

Passo 6

  1. Desenhar as assíntotas verticais em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi para vários k (por exemplo k=-1,0,1 dão x=-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}).
  2. Tomar o intervalo fundamental \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Neste intervalo \tan x varia de -\infty a +\infty e é estritamente crescente; então f(x)=1+\tan x também varia de -\infty a +\infty e é estritamente crescente.
  3. Pontos úteis no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right):
    • x=0: \tan 0=0 então f(0)=1. Marcar (0,1).
    • x=\tfrac{\pi}{4}: \tan\tfrac{\pi}{4}=1 então f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=2. Marcar \bigl(\tfrac{\pi}{4},2\bigr).
    • x=-\tfrac{\pi}{4}: \tan\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-1 então f\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=0. Marcar \bigl(-\tfrac{\pi}{4},0\bigr).
  4. Comportamento junto às assíntotas no intervalo citado:
    • \displaystyle\lim_{x\to\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)^+}f(x)=-\infty.
    • \displaystyle\lim_{x\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^-}f(x)=+\infty.
  5. Repetir o mesmo padrão deslocado horizontalmente por k\pi para todos os inteiros k. Ou seja, o padrão no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right) é igual ao do intervalo fundamental, apenas transladíssimo em x.
Dica prática para a prova: desenhe primeiro o gráfico de \tan x no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) com as marcas em \pm\tfrac{\pi}{4} e depois mova todo o gráfico para cima em uma unidade para obter f(x)=1+\tan x. Não esqueça de repetir o padrão a cada \pi e de marcar as assíntotas.

Passo 7

Em cada intervalo de definição \left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right) temos
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x>0,
logo f é estritamente crescente e contínua nesses intervalos. Entre intervalos há descontinuidade infinita (assíntotas verticais).

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}=\displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right)\n
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}\n
\text{Período}= \pií

Exercícios relacionados