Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidades de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 10 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 15 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar ser lucro por hora.
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidades de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 10 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 15 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar ser lucro por hora.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados relevantes:
- Produção quando trabalha somente com sapatos: faz
sapatos por hora. - Produção quando trabalha somente com cintos: faz
cintos por hora. - Consumo de couro: cada sapato usa
unidades de couro; cada cinto usa unidade de couro. - Disponibilidade de couro:
unidades no total. - Lucro unitário: lucro por sapato =
unidades monetárias; lucro por cinto = unidades monetárias.
O que se pede: - Construir o modelo matemático (programação linear) do sistema de produção do sapateiro, com objetivo de maximizar o lucro por hora.
Passo 2
Definir as variáveis de decisão (colocar o que cada variável representa e sua unidade):
- Seja
o número de sapatos produzidos por hora (unidades por hora). - Seja
o número de cintos produzidos por hora (unidades por hora).
Expliquei isso porque, como o objetivo é maximizar lucro por hora, modelamos quantas unidades de cada produto são fabricadas em uma hora.
Passo 3
Construir a função objetivo (o que queremos maximizar). O lucro total por hora é a soma dos lucros gerados por cada tipo de produto produzido por hora. Assim:
- Lucro por hora de sapatos = lucro unitário do sapato
quantidade de sapatos por hora . - Lucro por hora de cintos =
.
Portanto, a função objetivo a ser maximizada é
Aqui
representa o lucro total por hora.
Passo 4
Converter as velocidades de produção em restrição de tempo. Quando ele só faz sapatos, produz
sapatos em
hora, logo o tempo por sapato é
hora. Quando só faz cintos, produz
cintos em
hora, logo o tempo por cinto é
hora. Se na mesma hora ele produzir
sapatos e
cintos, o tempo total gasto é
Como só há
hora disponível para trabalhar, isso dá a restrição de tempo
Explicação prática: dividir a quantidade produzida pela taxa por hora dá o tempo necessário; a soma dos tempos não pode exceder a hora disponível.
Passo 5
Escrever a restrição de couro. Cada sapato consome
unidades de couro e cada cinto consome
. Como há no total
unidades de couro disponíveis por hora (ou no período considerado), a restrição é
Aqui peguei os números da descrição do enunciado: consumo por peça e total disponível.
Passo 6
Impor as restrições de não negatividade e comentar sobre integridade:
- Obviamente
e , pois não faz sentido produzir quantidade negativa.
Observação didática rápida: em problemas reaise deveriam ser inteiros (não se produz uma fração de sapato), mas em muitos modelos de LP de primeira etapa tratamos e como contínuos. Se a prova pedir inteiros, então acrescenta-se a restrição de integralidade; aqui o enunciado píde só o modelo de programação linear, então usamos a versão contínua.
Passo 7
Resumo de todas as peças que já construí (função objetivo, restrições de tempo e couro, não negatividade). Não repito a forma final empacotada aqui (essa será colocada somente na seção final de resposta), para que a seção de resposta contenha apenas o modelo final, conforme pedido.
Resposta
Maximizar
sujeito a