Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidades de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 10 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 15 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar ser lucro por hora.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados relevantes:
  • Produção quando trabalha somente com sapatos: faz 6 sapatos por hora.
  • Produção quando trabalha somente com cintos: faz 5 cintos por hora.
  • Consumo de couro: cada sapato usa 2 unidades de couro; cada cinto usa 1 unidade de couro.
  • Disponibilidade de couro: 10 unidades no total.
  • Lucro unitário: lucro por sapato = 15 unidades monetárias; lucro por cinto = 2 unidades monetárias.
    O que se pede:
  • Construir o modelo matemático (programação linear) do sistema de produção do sapateiro, com objetivo de maximizar o lucro por hora.

Passo 2

Definir as variáveis de decisão (colocar o que cada variável representa e sua unidade):
  • Seja x o número de sapatos produzidos por hora (unidades por hora).
  • Seja y o número de cintos produzidos por hora (unidades por hora).
Expliquei isso porque, como o objetivo é maximizar lucro por hora, modelamos quantas unidades de cada produto são fabricadas em uma hora.

Passo 3

Construir a função objetivo (o que queremos maximizar). O lucro total por hora é a soma dos lucros gerados por cada tipo de produto produzido por hora. Assim:
  • Lucro por hora de sapatos = lucro unitário do sapato \times quantidade de sapatos por hora =15\cdot x.
  • Lucro por hora de cintos = 2\cdot y.
    Portanto, a função objetivo a ser maximizada é
\text{Maximizar }Z=15x+2y.
Aqui Z representa o lucro total por hora.

Passo 4

Converter as velocidades de produção em restrição de tempo. Quando ele só faz sapatos, produz 6 sapatos em 1 hora, logo o tempo por sapato é \tfrac{1}{6} hora. Quando só faz cintos, produz 5 cintos em 1 hora, logo o tempo por cinto é \tfrac{1}{5} hora. Se na mesma hora ele produzir x sapatos e y cintos, o tempo total gasto é
\frac{x}{6}+\frac{y}{5}.
Como só há 1 hora disponível para trabalhar, isso dá a restrição de tempo
\frac{x}{6}+\frac{y}{5}\le 1.
Explicação prática: dividir a quantidade produzida pela taxa por hora dá o tempo necessário; a soma dos tempos não pode exceder a hora disponível.

Passo 5

Escrever a restrição de couro. Cada sapato consome 2 unidades de couro e cada cinto consome 1. Como há no total 10 unidades de couro disponíveis por hora (ou no período considerado), a restrição é
2x+y\le 10.
Aqui peguei os números da descrição do enunciado: consumo por peça e total disponível.

Passo 6

Impor as restrições de não negatividade e comentar sobre integridade:
  • Obviamente x\ge 0 e y\ge 0, pois não faz sentido produzir quantidade negativa.
    Observação didática rápida: em problemas reais x e y deveriam ser inteiros (não se produz uma fração de sapato), mas em muitos modelos de LP de primeira etapa tratamos x e y como contínuos. Se a prova pedir inteiros, então acrescenta-se a restrição de integralidade; aqui o enunciado píde só o modelo de programação linear, então usamos a versão contínua.

Passo 7

Resumo de todas as peças que já construí (função objetivo, restrições de tempo e couro, não negatividade). Não repito a forma final empacotada aqui (essa será colocada somente na seção final de resposta), para que a seção de resposta contenha apenas o modelo final, conforme pedido.

Resposta

Maximizar
Z=15x+2y
sujeito a
\frac{x}{6}+\frac{y}{5}\le 1,
2x+y\le 10,
x\ge 0,\quad y\ge 0.

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