Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendose que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produçăo do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos esses dados do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • Produção se fizer somente sapatos: 6 sapatos por hora.
    • Produção se fizer somente cintos: 5 cintos por hora.
    • Consumo de couro por unidade: sapato consome 2 unidades de couro; cinto consome 1 unidade de couro.
    • Couro disponível no total: 6 unidades.
    • Lucro unitário: sapato dá lucro de 5 unidades monetárias; cinto dá lucro de 2 unidades monetárias.
  • Pedido do enunciado:
    • Construir o modelo matemático de programação linear do sistema de produção, com o objetivo de maximizar o lucro por hora.

Passo 2

Definir as variáveis de decisão (o passo mais importante para formular qualquer modelo).
  • Seja x o número de sapatos produzidos por hora.
  • Seja y o número de cintos produzidos por hora.
Explicação didática: as variáveis representam quantidades que o sapateiro escolhe produzir naquele intervalo de tempo (uma hora). Sempre que definir variáveis, lembrar de indicar a unidade (aqui: unidades por hora) e que elas não podem ser negativas.

Passo 3

Transformar a informação sobre a capacidade de produção (taxas por hora) numa restrição de tempo.
  • O enunciado diz que o sapateiro faz 6 sapatos por hora se dedicar a fazer só sapatos. Isso significa que o tempo necessário para fabricar um sapato é a razão inversa da taxa: \text{tempo por sapato} = \frac{1}{6}\\ \text{hora}.
  • Analogamente, para cintos: a taxa é 5 cintos por hora, então \text{tempo por cinto} = \frac{1}{5}\\ \text{hora}.
  • Se o sapateiro só dispõe de 1 hora de trabalho (por hora de avaliação), o tempo total gasto em produzir x sapatos e y cintos não pode exceder 1 hora: \frac{1}{6}x + \frac{1}{5}y \le 1.
Dica prática: é comum multiplicar a desigualdade por um número que deixe coeficientes inteiros (para facilitar contas). O mínimo múltiplo comum de 6 e 5 é 30. Multiplicando ambos os lados por 30 obtemos uma forma equivalente:
5x + 6y \le 30.
Ambas as desigualdades representam a mesma restrição de tempo; escolha a que preferir em prova.

Passo 4

Construir a restrição de material (couro).
  • Cada sapato consome 2 unidades de couro e cada cinto consome 1 unidade.
  • O couro total disponível é 6 unidades, logo o total consumido não pode superar 6: 2x + 1y \le 6.
Explicação didática: ao formar restrições, multiplica-se o consumo por unidade (coeficiente) pela quantidade produzida (variável) e soma-se os consumos de todos os produtos, comparando com o recurso disponível.

Passo 5

Impor não negatividade das variáveis.
  • Como x e y representam quantidades físicas, deve valer x \ge 0,\qquad y \ge 0.
Comentário amigável: em muitos problemas de produção é natural restringir também a integralidade (números inteiros), mas em programação linear padrão assume-se que as variáveis sejam reais não negativas, salvo indicação em contrário.

Passo 6

Construir a função objetivo (lucro total por hora) e explicar os coeficientes.
  • Lucro unitário de sapato: 5. Lucro unitário de cinto: 2.
  • O lucro total por hora, que queremos maximizar, é a soma dos lucros unitários vezes as quantidades: Z = 5x + 2y.
Explicação didática: cada sapato produzido aumenta o lucro em 5; cada cinto em 2. A função objetivo é linear porque é soma de coeficientes fixos multiplicando as variáveis.

Passo 7

Apresentar o modelo completo, pronto para ser usado/resolvido (forma canônica informal).
  • Variáveis: x = sapatos por hora, y = cintos por hora.
  • Objetivo: maximizar lucro por hora.
  • Restrições: tempo de trabalho, couro disponível, e não negatividade.
Forma do modelo em equações:
\text{Maximizar}\quad Z = 5x + 2y
\text{sujeito a}\quad \frac{1}{6}x + \frac{1}{5}y \le 1
\phantom{\text{sujeito a}\\ }\quad 2x + y \le 6
\phantom{\text{sujeito a}\\ }\quad x \ge 0,\quad y \ge 0
Observação prática para prova (rápida e útil): pode preferir a forma com coeficientes inteiros multiplicando a primeira restrição por 30; então a restrição de tempo fica 5x+6y\le 30. Esta forma às vezes facilita o desenho da região factível e o cálculo de pontos de interseção.

Resposta

\text{Maximizar}\quad Z = 5x + 2y
\text{sujeito a}\quad \frac{1}{6}x + \frac{1}{5}y \le 1
2x + y \le 6
x \ge 0,\quad y \ge 0

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