Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regiăo de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pèssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhăo para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas: construir o modelo de programação linear e determinar como carregar o caminhão para obter lucro máximo.
Informações do enunciado (peguei estes números do problema):
  • Capacidade total do caminhão: \;800\; caixas.
  • Deve transportar pelo menos \;200\; caixas de laranjas, lucro de \;20\; u.m. por caixa.
  • Deve transportar pelo menos \;100\; caixas de pêssegos, lucro de \;10\; u.m. por caixa.
  • Pode transportar no máximo \;200\; caixas de tangerinas, lucro de \;30\; u.m. por caixa.
O que se pede:
  • Construir o modelo matemático (variáveis, função objetivo e restrições).
  • Dizer de que forma carregar o caminhão para obter o lucro máximo (ou seja, encontrar a solução ótima e o lucro máximo).

Passo 2

Definição das variáveis de decisão (explicando o que cada uma representa):
  • Seja x_L o número de caixas de laranjas a carregar (cada caixa gera lucro de \;20\; u.m.).
  • Seja x_P o número de caixas de pêssegos a carregar (cada caixa gera lucro de \;10\; u.m.).
  • Seja x_T o número de caixas de tangerinas a carregar (cada caixa gera lucro de \;30\; u.m.).
Observação: as variáveis representam números de caixas; em princípio são inteiras, mas trataremos o problema como programação linear contínua porque aqui a solução ótima será inteira (por se tratar de limites inteiros e coeficientes inteiros).

Passo 3

Construção da função objetivo (explicando a lógica dos coeficientes):
  • Queremos maximizar o lucro total, que é a soma do lucro por caixa vezes o número de caixas de cada fruta.
  • O lucro total Z é dado por:
Z = 20\,x_L + 10\,x_P + 30\,x_T.
Aqui 20, 10 e 30 são os lucros unitários (u.m. por caixa) e x_L,x_P,x_T são as quantidades de caixas.

Passo 4

Construção das restrições (explicando cada uma):
  • Restrição de capacidade do caminhão: a soma de todas as caixas não pode exceder \;800\; caixas.
x_L + x_P + x_T \le 800.
  • Obrigação mínima de laranjas: pelo menos \;200\; caixas de laranjas.
x_L \ge 200.
  • Obrigação mínima de pêssegos: pelo menos \;100\; caixas de pêssegos.
x_P \ge 100.
  • Limite máximo de tangerinas: no máximo \;200\; caixas de tangerinas.
x_T \le 200.
  • Não negatividade:
x_L \ge 0,\qquad x_P \ge 0,\qquad x_T \ge 0.

Passo 5

Resumo do modelo (colocando tudo junto):
Maximizar
Z = 20\,x_L + 10\,x_P + 30\,x_T
sujeito a
\begin{cases} x_L + x_P + x_T \le 800,\\[4pt] x_L \ge 200,\\[4pt] x_P \ge 100,\\[4pt] x_T \le 200,\\[4pt] x_L,x_P,x_T \ge 0. \end{cases}]

Passo 6

Como resolver para obter a solução ótima (explicando a intuição passo a passo, sem pular etapas):
  • Observação prática: é um problema linear simples com bounds. Para maximizar lucro, após cumprir as exigências mínimas, convém preencher a capacidade restante com o produto que dá maior lucro por caixa, respeitando o máximo permitido para cada produto.
  • Ordenando lucros por caixa: tangerinas \;30 u.m. (melhor), laranjas \;20 u.m. (segundo), pêssegos \;10 u.m. (pior).
  • Primeiro satisfazemos as mínimas obrigatórias:
    • x_L \ge 200 e x_P \ge 100 implicam, no mínimo, 200 + 100 = 300 caixas já ocupadas.
    • Restam \;800 - 300 = 500\; caixas livres para preencher.
  • Como tangerinas têm o maior lucro, colocamos o máximo possível de tangerinas, até o limite:
    • Limite de tangerinas é x_T \le 200. Então colocamos x_T = 200.
    • Agora ocupamos mais 200 caixas, total ocupado: 300 + 200 = 500.
    • Restam \;800 - 500 = 300 caixas livres.
  • Entre laranjas ( 20 u.m.) e pêssegos ( 10 u.m.), as laranjas dão mais lucro, então usamos as caixas restantes para laranjas:
    • Já temos x_L \ge 200; adicionamos as 300 caixas restantes a laranjas, ficando x_L = 200 + 300 = 500.
    • x_P permanece no mínimo obrigatório x_P = 100.
  • Verificação das restrições:
    • Soma: x_L + x_P + x_T = 500 + 100 + 200 = 800 \le 800 (capacidade cheia).
    • Bounds: x_L=500\ge200,\;x_P=100\ge100,\;x_T=200\le200. Tudo satisfeito.

Passo 7

Cálculo do lucro máximo (mostrar as contas):
  • Substituindo na função objetivo:
Z = 20\cdot 500 + 10\cdot 100 + 30\cdot 200.
  • Calculando termo a termo:
20\cdot 500 = 10\,000,\qquad 10\cdot 100 = 1\,000,\qquad 30\cdot 200 = 6\,000.
  • Soma:
Z = 10\,000 + 1\,000 + 6\,000 = 17\,000\\ \text{u.m.}

Resposta

Laranjas: 500 caixas
Pêssegos: 100 caixas
Tangerinas: 200 caixas
Lucro máximo: 17\,000\\ \text{u.m.}

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