Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regiăo de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pèssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhăo para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas: construir o modelo de programação linear e determinar como carregar o caminhão para obter lucro máximo.
Informações do enunciado (peguei estes números do problema):
Capacidade total do caminhão: \;800\; caixas.
Deve transportar pelo menos \;200\; caixas de laranjas, lucro de \;20\; u.m. por caixa.
Deve transportar pelo menos \;100\; caixas de pêssegos, lucro de \;10\; u.m. por caixa.
Pode transportar no máximo \;200\; caixas de tangerinas, lucro de \;30\; u.m. por caixa.
O que se pede:
Construir o modelo matemático (variáveis, função objetivo e restrições).
Dizer de que forma carregar o caminhão para obter o lucro máximo (ou seja, encontrar a solução ótima e o lucro máximo).
Passo 2
Definição das variáveis de decisão (explicando o que cada uma representa):
Seja x_L o número de caixas de laranjas a carregar (cada caixa gera lucro de \;20\; u.m.).
Seja x_P o número de caixas de pêssegos a carregar (cada caixa gera lucro de \;10\; u.m.).
Seja x_T o número de caixas de tangerinas a carregar (cada caixa gera lucro de \;30\; u.m.).
Observação: as variáveis representam números de caixas; em princípio são inteiras, mas trataremos o problema como programação linear contínua porque aqui a solução ótima será inteira (por se tratar de limites inteiros e coeficientes inteiros).
Passo 3
Construção da função objetivo (explicando a lógica dos coeficientes):
Queremos maximizar o lucro total, que é a soma do lucro por caixa vezes o número de caixas de cada fruta.
O lucro total Z é dado por:
Z = 20\,x_L + 10\,x_P + 30\,x_T.
Aqui 20, 10 e 30 são os lucros unitários (u.m. por caixa) e x_L,x_P,x_T são as quantidades de caixas.
Passo 4
Construção das restrições (explicando cada uma):
Restrição de capacidade do caminhão: a soma de todas as caixas não pode exceder \;800\; caixas.
x_L + x_P + x_T \le 800.
Obrigação mínima de laranjas: pelo menos \;200\; caixas de laranjas.
x_L \ge 200.
Obrigação mínima de pêssegos: pelo menos \;100\; caixas de pêssegos.
x_P \ge 100.
Limite máximo de tangerinas: no máximo \;200\; caixas de tangerinas.
x_T \le 200.
Não negatividade:
x_L \ge 0,\qquad x_P \ge 0,\qquad x_T \ge 0.
Passo 5
Resumo do modelo (colocando tudo junto):
Maximizar
Como resolver para obter a solução ótima (explicando a intuição passo a passo, sem pular etapas):
Observação prática: é um problema linear simples com bounds. Para maximizar lucro, após cumprir as exigências mínimas, convém preencher a capacidade restante com o produto que dá maior lucro por caixa, respeitando o máximo permitido para cada produto.