Construir um retângulo conhecendo o comprimento da diagonal igual a 4,7 \mathrm{~cm} e seu semi-perímetro 6,3 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede: construir (ou seja, determinar as medidas dos lados de) um retângulo sabendo que sua diagonal mede 4,7\\ \mathrm{cm} e seu semi-perímetro mede 6,3\\ \mathrm{cm}.
Informações dadas:
  • diagonal: d = 4,7\\ \mathrm{cm};
  • semi-perímetro: s = 6,3\\ \mathrm{cm} (ou seja, metade do perímetro).
Pergunta a responder:
  • Quais são os comprimentos dos dois lados do retângulo? (os dois lados positivos cujas soma é o semi-perímetro e cuja soma dos quadrados é o quadrado da diagonal).

Passo 2

Definimos variáveis para tornar tudo claro e poder aplicar fórmulas:
  • Seja x o comprimento de um lado do retângulo (em \mathrm{cm}).
  • Seja y o comprimento do outro lado do retângulo (em \mathrm{cm}).
    Ambos são números positivos.
O que sabemos em termos de x e y:
  • O semi-perímetro é a soma dos lados: x+y = 6,3.
  • Pela relação entre diagonal e lados (Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pela diagonal e dois lados adjacentes), vale: x^{2}+y^{2} = d^{2} = 4,7^{2}.

Passo 3

Explico as ideias que vou usar (aula rápida e prática):
  • Semi-perímetro: para um retângulo com lados x e y, o perímetro é 2x+2y. O semi-perímetro é metade disso, ou seja x+y. Por isso usamos x+y=6,3.
  • Teorema de Pitágoras: a diagonal de um retângulo é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos lados x e y. Assim x^{2}+y^{2}=d^{2}.
  • Estratégia algébrica: a partir de x+y e de x^{2}+y^{2} podemos obter o produto xy usando a identidade (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}. Conhecendo x+y e xy, os valores x e y são raízes da equação quadrática t^{2}-(x+y)t+xy=0. Vou seguir esses passos.

Passo 4

Calculo do produto xy a partir das quantidades conhecidas.
Começo com a identidade:
(x+y)^{2} = x^{2}+2xy+y^{2}.
Substituo x+y=6,3 e x^{2}+y^{2}=4,7^{2}. Logo:
6,3^{2} = 4,7^{2} + 2xy.
Isolando xy:
2xy = 6,3^{2} - 4,7^{2},
xy = \dfrac{6,3^{2} - 4,7^{2}}{2}.
Agora calculo os quadrados (faço passo a passo sem pular):
6,3^{2} = 6,3 \times 6,3 = 39,69,
4,7^{2} = 4,7 \times 4,7 = 22,09.
Substituindo:
xy = \dfrac{39,69 - 22,09}{2} = \dfrac{17,60}{2} = 8,80.
Portanto xy = 8,80.

Passo 5

Agora sabemos x+y=6,3 e xy=8,80. Os números x e y são raízes da equação quadrática:
t^{2} - (x+y)\,t + xy = 0,
isto é,
t^{2} - 6,3\,t + 8,80 = 0.
Vou resolver essa equação usando a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Lembrando que, para uma equação \;t^{2}+bt+c=0\;, as raízes são
t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4c}}{2}.
No nosso caso o coeficiente b é -6,3 (porque a equação está na forma t^{2}-6,3t+8,80=0), então a discriminante é
\Delta = (-6,3)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 8,80 = 6,3^{2} - 4\cdot 8,80.

Passo 6

Calculo explícito do discriminante, com simplificação que torna as contas mais diretas.
Primeiro calculei 6,3^{2}=39,69 no passo anterior. Agora:
4\cdot 8,80 = 35,20.
Então
\Delta = 39,69 - 35,20 = 4,49.
Observação útil (atalho algébrico que explica a forma): se substituir xy em termos de x+y e d^{2}, a expressão do discriminante simplifica para \Delta = 2d^{2} - (x+y)^{2}. Fizemos os cálculos numéricos acima e obtivemos \Delta=4,49.
Agora aplico a fórmula das raízes:
t = \dfrac{6,3 \pm \sqrt{4,49}}{2}.

Passo 7

Calculo numérico da raiz quadrada e das raízes x e y. Vou manter uma precisão adequada e explicar o arredondamento.
Calculo da raiz:
\sqrt{4,49} \approx 2,118962\ldots
(é suficiente para a prova usar \approx 2,119 ou arredondar depois).
Agora as duas raízes:
x = \dfrac{6,3 + \sqrt{4,49}}{2} \approx \dfrac{6,3 + 2,118962}{2} = \dfrac{8,418962}{2} \approx 4,209481.
y = \dfrac{6,3 - \sqrt{4,49}}{2} \approx \dfrac{6,3 - 2,118962}{2} = \dfrac{4,181038}{2} \approx 2,090519.
Arredondando de forma convencional para duas casas decimais (prática comum em provas de geometria ou medições):
x \approx 4,21\\ \mathrm{cm},\qquad y \approx 2,09\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
  1. Soma: 4,21 + 2,09 = 6,30 que concorda com o semi-perímetro 6,3.
  2. Diagonal (Pitágoras): \sqrt{4,21^{2} + 2,09^{2}} \approx \sqrt{17,7241 + 4,3681} = \sqrt{22,0922} \approx 4,700, muito próximo de 4,7 (diferença por arredondamento). Logo os valores estão consistentes.
Conclusão: os comprimentos dos lados do retângulo são aproximadamente 4,21\\ \mathrm{cm} e 2,09\\ \mathrm{cm}.

Resposta

4,21\\ \mathrm{cm}
2,09\\ \mathrm{cm}

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