Construir um retângulo conhecendo o comprimento da diagonal igual a
e seu semi-perímetro
.
Passo 1
O enunciado pede: construir (ou seja, determinar as medidas dos lados de) um retângulo sabendo que sua diagonal mede
e seu semi-perímetro mede
.
Informações dadas:
- diagonal:
; - semi-perímetro:
(ou seja, metade do perímetro).
Pergunta a responder:
- Quais são os comprimentos dos dois lados do retângulo? (os dois lados positivos cujas soma é o semi-perímetro e cuja soma dos quadrados é o quadrado da diagonal).
Passo 2
Definimos variáveis para tornar tudo claro e poder aplicar fórmulas:
- Seja
o comprimento de um lado do retângulo (em ). - Seja
o comprimento do outro lado do retângulo (em ).
Ambos são números positivos.
O que sabemos em termos de
e
:
- O semi-perímetro é a soma dos lados:
- Pela relação entre diagonal e lados (Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pela diagonal e dois lados adjacentes), vale:
Passo 3
Explico as ideias que vou usar (aula rápida e prática):
- Semi-perímetro: para um retângulo com lados
e , o perímetro é . O semi-perímetro é metade disso, ou seja . Por isso usamos . - Teorema de Pitágoras: a diagonal de um retângulo é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos lados
e . Assim . - Estratégia algébrica: a partir de
e de podemos obter o produto usando a identidade . Conhecendo e , os valores e são raízes da equação quadrática . Vou seguir esses passos.
Passo 4
Calculo do produto
a partir das quantidades conhecidas.
Começo com a identidade:
Substituo
e
. Logo:
Isolando
:
Agora calculo os quadrados (faço passo a passo sem pular):
Substituindo:
Portanto
.
Passo 5
Agora sabemos
e
. Os números
e
são raízes da equação quadrática:
isto é,
Vou resolver essa equação usando a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Lembrando que, para uma equação
, as raízes são
No nosso caso o coeficiente
é
(porque a equação está na forma
), então a discriminante é
Passo 6
Calculo explícito do discriminante, com simplificação que torna as contas mais diretas.
Primeiro calculei
no passo anterior. Agora:
Então
Observação útil (atalho algébrico que explica a forma): se substituir
em termos de
e
, a expressão do discriminante simplifica para
. Fizemos os cálculos numéricos acima e obtivemos
.
Agora aplico a fórmula das raízes:
Passo 7
Calculo numérico da raiz quadrada e das raízes
e
. Vou manter uma precisão adequada e explicar o arredondamento.
Calculo da raiz:
(é suficiente para a prova usar
ou arredondar depois).
Agora as duas raízes:
Arredondando de forma convencional para duas casas decimais (prática comum em provas de geometria ou medições):
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
- Soma:
que concorda com o semi-perímetro . - Diagonal (Pitágoras):
, muito próximo de (diferença por arredondamento). Logo os valores estão consistentes.
Conclusão: os comprimentos dos lados do retângulo são aproximadamente
e
.