Construir o triângulo A B C sabendo que A B=5,3 \mathrm{~cm}, \cos A= 0,6 e que o lado BC é o menor possível.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: AB=5,3\\ \text{cm} e \cos A=0,6.
  • Pedido: Construir o triângulo ABC com essas condições e tal que o lado BC seja o menor possível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O ângulo em A tem cosseno conhecido: \cos A=0,6. Podemos obter \sin A por identidade trigonométrica.
  • A posição de C depende do comprimento AC (a direção de AC é fixada pelo ângulo A em relação a AB). Ao variar AC sobre a semirreta que sai de A formando o ângulo A com AB, o comprimento BC muda; precisamos escolher AC de modo a minimizar BC.

Passo 2

Escolhendo um referencial e expressando C com uma variável:
  • Coloco A na origem e faço AB sobre o eixo x positivo. Assim A=(0,0) e B=(5,3,0) em notação decimal com vírgula: neste problema escrevo B=(5,3,0) apenas para lembrar as coordenadas (a seguir uso só os números dentro de fórmulas).
  • Seja \theta o ângulo A. Temos \cos\theta=0,6. Pela identidade pitagórica:
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-0,6^2}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8.
(Negativo não faz sentido pois estamos tomando a semirreta acima do eixo.)
  • Sejam x=AC (comprimento positivo, variável que vamos escolher) e a direção do segmento AC é \theta. Então as coordenadas de C são
C=(x\cos\theta,\;x\sin\theta)=(0,6x,\;0,8x).

Passo 3

Expressar BC^2 em função de x:
  • A distância BC ao quadrado é
BC^2=(5,3-0,6x)^2+(0-0,8x)^2.
  • Desenvolvendo:
BC^2=(5,3)^2-2\cdot5,3\cdot0,6x+(0,6x)^2+(0,8x)^2.
  • Calculando os termos numéricos:
(5,3)^2=28,09,\qquad 2\cdot5,3\cdot0,6=6,36,
(0,6x)^2+(0,8x)^2=0,36x^2+0,64x^2=1\cdot x^2=x^2.
  • Logo
BC^2=x^2-6,36x+28,09.

Passo 4

Minimizar BC (equivalente a minimizar BC^2):
  • Para encontrar o x que minimiza BC^2 podemos completar o quadrado ou derivar. Faço completamento de quadrado:
BC^2=x^2-6,36x+28,09=(x-3,18)^2+28,09-3,18^2.
  • Calculo 3,18^2=10,1124, então
BC^2=(x-3,18)^2+28,09-10,1124=(x-3,18)^2+17,9776.
  • A expressão (x-3,18)^2 é sempre \ge 0, portanto o mínimo de BC^2 ocorre quando (x-3,18)^2=0, isto é, para
x=3,18\\ \text{cm}.
  • Interpretação geométrica (útil para construir sem cálculo pesado): o ponto de menor distância de B a uma semirreta saindo de A é a projeção ortogonal de B sobre essa reta. Aqui isso corresponde a ter
AC=AB\cos A=5,3\cdot0,6=3,18\\ \text{cm}.
Essa é uma forma rápida de ver que x deve ser AB\cos A.

Passo 5

Obter o valor mínimo de BC:
  • Substituindo x=3,18 em BC^2 obtemos o mínimo
BC^2_{\min}=17,9776,
portanto
BC_{\min}=\sqrt{17,9776}=4,24\\ \text{cm}.
  • Também podemos obter este resultado de maneira imediata pela relação trigonométrica: se AC=AB\cos A (projeção), então o cateto perpendicular tem comprimento AB\sin A, logo
BC_{\min}=AB\sin A=5,3\cdot0,8=4,24\\ \text{cm}.

Passo 6

Como construir o triângulo na prática (passo a passo de construção geométrica, sem depender de cálculo complexo):
  1. Traçar o segmento AB com comprimento \;AB=5,3\\ \text{cm}.
  2. No ponto A, traçar a semirreta que forma o ângulo \;A=\operatorname{arccos}(0,6)\approx53,13^\circ com a direção de AB (pode-se marcar esse ângulo com o transferidor).
  3. Sobre essa semirreta, marcar o ponto C tal que AC=3,18\\ \text{cm} (ou alternativamente: traçar por B uma perpendicular à semirreta e marcar o ponto de interseção como C; esse ponto é a projeção ortogonal de B sobre a semirreta).
  4. Unir B a C. O triângulo ABC construído assim satisfaz \cos A=0,6 e tem o lado BC de comprimento mínimo, BC=4,24\\ \text{cm}.

Resposta

AC=3,18\\ \text{cm}
BC_{\min}=4,24\\ \text{cm}
A=\operatorname{arccos}(0,6)\approx53,13^\circ

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