Construir o triângulo
sabendo que
0,6 e que o lado BC é o menor possível.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados:
e . - Pedido: Construir o triângulo
com essas condições e tal que o lado seja o menor possível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O ângulo em
tem cosseno conhecido: . Podemos obter por identidade trigonométrica. - A posição de
depende do comprimento (a direção de é fixada pelo ângulo em relação a ). Ao variar sobre a semirreta que sai de formando o ângulo com , o comprimento muda; precisamos escolher de modo a minimizar .
Passo 2
Escolhendo um referencial e expressando
com uma variável:
- Coloco
na origem e faço sobre o eixo positivo. Assim e em notação decimal com vírgula: neste problema escrevo apenas para lembrar as coordenadas (a seguir uso só os números dentro de fórmulas). - Seja
o ângulo . Temos . Pela identidade pitagórica:
(Negativo não faz sentido pois estamos tomando a semirreta acima do eixo.)
- Sejam
(comprimento positivo, variável que vamos escolher) e a direção do segmento é . Então as coordenadas de são
Passo 3
Expressar
em função de
:
- A distância
ao quadrado é
- Desenvolvendo:
- Calculando os termos numéricos:
- Logo
Passo 4
Minimizar
(equivalente a minimizar
):
- Para encontrar o
que minimiza podemos completar o quadrado ou derivar. Faço completamento de quadrado:
- Calculo
, então
- A expressão
é sempre , portanto o mínimo de ocorre quando , isto é, para
- Interpretação geométrica (útil para construir sem cálculo pesado): o ponto de menor distância de
a uma semirreta saindo de é a projeção ortogonal de sobre essa reta. Aqui isso corresponde a ter
Essa é uma forma rápida de ver que
deve ser
.
Passo 5
Obter o valor mínimo de
:
- Substituindo
em obtemos o mínimo
portanto
- Também podemos obter este resultado de maneira imediata pela relação trigonométrica: se
(projeção), então o cateto perpendicular tem comprimento , logo
Passo 6
Como construir o triângulo na prática (passo a passo de construção geométrica, sem depender de cálculo complexo):
- Traçar o segmento
com comprimento - No ponto
, traçar a semirreta que forma o ângulo com a direção de (pode-se marcar esse ângulo com o transferidor). - Sobre essa semirreta, marcar o ponto
tal que (ou alternativamente: traçar por uma perpendicular à semirreta e marcar o ponto de interseção como ; esse ponto é a projeção ortogonal de sobre a semirreta). - Unir
a . O triângulo construído assim satisfaz e tem o lado de comprimento mínimo, .