Para construir um telhado, foram colocadas as telhas, sem a devida fixação. A densidade do ar é 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e aconteceu um vendaval com ventos de até 126 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A área utilizada para colocar as telhas foi de 75 \mathrm{~m}^{2}. Despreze a resistência do ar e desconsidere a espessura das telhas. Use a aceleração da gravidade como 9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual é a menor massa do telhado para que ele não seja levado pelo vento?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a menor massa do telhado para que ele não seja levado pelo vento?”
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
  • densidade do ar: \rho = 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • velocidade máxima do vento: v = 126\\ \mathrm{km/h};
  • área do telhado: A = 75\\ \mathrm{m^{2}};
  • acelerarão da gravidade: g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • instrução: despreze a resistência do ar e desconsidere a espessura das telhas.
Objetivo prático: achar a menor massa m tal que o peso m g seja pelo menos igual à força ascendente do vento sobre a área do telhado.

Passo 2

Converter a velocidade do vento de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A conversão padrão é dividir por 3{,}6. Então
v = \frac{126}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos:
v = 35\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Explicar a força que o vento exerce: para este tipo de estimativa usamos a pressão dinâmica do fluido (ar) dada pela fórmula
p_{\text{din}} = \frac{1}{2}\,\rho\,v^{2}.
O que isso significa, de forma simples: quando um vento com velocidade \,v incide sobre uma superfície, a energia cinética por unidade de volume do ar gera uma pressão efetiva que tende a empurrar/levantar a superfície. A variável \rho é a densidade do ar (massa por volume), v é a velocidade do ar, e o fator \tfrac{1}{2} vem da dedução de Bernoulli/energia cinética por unidade de volume.
A força total que tende a levantar o telhado é essa pressão multiplicada pela área:
F_{\text{vento}} = p_{\text{din}}\;A = \left(\frac{1}{2}\rho v^{2}\right) A.

Passo 4

Calcular a pressão dinâmica numérica usando \rho = 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}} e v = 35\\ \mathrm{m/s}:
p_{\text{din}} = \frac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 35^{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
35^{2} = 1225,
\frac{1}{2}\cdot 1{,}2 = 0{,}6,
p_{\text{din}} = 0{,}6\cdot 1225 = 735\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a pressão dinâmica é \,735\\ \mathrm{N/m^{2}} (pois 1\\ \mathrm{Pa} = 1\\ \mathrm{N/m^{2}}).

Passo 5

Calcular a força ascendente sobre a área A = 75\\ \mathrm{m^{2}}:
F_{\text{vento}} = p_{\text{din}}\;A = 735\cdot 75\\ \mathrm{N}.
Multiplicando:
F_{\text{vento}} = 55125\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Para o telhado não ser levado, o peso P (força para baixo) deve ser pelo menos igual à força ascendente do vento:
P = m g \ge F_{\text{vento}}.
Logo a menor massa m satisfaz a igualdade
m = \frac{F_{\text{vento}}}{g}.

Passo 7

Substituir F_{\text{vento}} = 55125\\ \mathrm{N} e g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
m = \frac{55125}{9{,}8}\\ \mathrm{kg}.
Fazendo a divisão:
m = 5625\\ \mathrm{kg}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida: esse resultado significa que o telhado inteiro precisa ter massa de pelo menos \,5625\\ \mathrm{kg} (equivalente a um peso de \,55125\\ \mathrm{N}) para que a força do vento, estimada pela pressão dinâmica associada a 126\\ \mathrm{km/h}, não o levante. A conta é direta e consistente dimensionalmente: pressão ( \mathrm{N/m^{2}}) vezes área ( \mathrm{m^{2}}) dá força ( \mathrm{N}), e dividir por g dá massa ( \mathrm{kg}).

Resposta

\,5625\\ \mathrm{kg}

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