Construir o triângulo ABC conhecendo o ângulo
, o lado b e o raio r do círculo inscrito.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto para ficar bem claro):
- Dados fornecidos:
- O ângulo do vértice
: (valor conhecido). - O comprimento do lado
, ou seja (valor conhecido). - O raio do círculo inscrito
(valor conhecido).
- O ângulo do vértice
- O que pedir construir:
- Construir o triângulo
(posicionar os pontos e a partir de , do ramo que forma , de modo que e o incírculo tenha raio ).
- Construir o triângulo
Informações relevantes que já temos e que vamos usar:
- O incentro
(centro do incírculo) pertence à bissetriz do ângulo . - A distância do incentro à reta
(e também à reta ) é exatamente . - O ponto de tangência do incírculo com
está localizado a uma distância de igual a (essa relação será demonstrada e usada). - Existe uma condição óbvia de existência geométrica: o ponto de tangência deve ficar entre
e , portanto . Se isso não ocorrer, não existe triângulo com esses dados.
Passo 2
Demonstração e fórmulas úteis (aulas rápidas necessárias para a construção).
- Considere a bissetriz do ângulo
e o incentro sobre essa bissetriz. Do triângulo formado por , e a projeção de sobre (onde é o ponto de tangência do incírculo com ), temos um triângulo retângulo em . - O ângulo entre
(bissetriz) e vale . No triângulo retângulo vale: Portanto Essa fórmula diz: a partir de , o incentro fica sobre a bissetriz a uma distância conhecida em função de e . - Ainda no mesmo triângulo retângulo, a distância ao longo de
desde até o ponto de tangência (adjacente ao ângulo ) é Essa é a fórmula usada para verificar existência e para localizar o ponto de tangência sobre . - Condição de existência (necessária): o ponto de tangência
deve ficar entre e , logo Se temos degenerescência (o ponto coincide com o ponto de tangência); se não existe construção.
Passo 3
Plano geométrico da construção (visão geral antes do procedimento prático)
- Traçar em
os dois ramos que formam o ângulo . No ramo destinado a marcar o ponto tal que . - Construir o incentro
como interseção entre a bissetriz de e a reta paralela a que esteja à distância de (essa reta paralela é o lugar geométrico dos pontos a distância de ). - Traçar o incírculo de centro
e raio . - A partir do ponto
traçar as tangentes ao incírculo; a tangente que intercepta o outro ramo do ângulo define o ponto . - Verificar que o segmento
é uma das tangentes do círculo, e assim o incírculo ficará inscrito no triângulo formado por , , .
Agora vou transformar esse plano em uma sequência prática, passo a passo de construção geométrica, com indicações de como traçar cada reta ou ponto usando régua e compasso.
Passo 4
Construção prática — traçar ângulo, marcar
e bissetriz
- Num papel, marque o ponto
. - A partir de
, desenhe os dois ramos do ângulo com a medida dada (use transferidor ou construção por compasso se preferir). - No ramo que será
, marque o ponto tal que . (Usar compasso: abra para e marque o arco sobre o ramo.) - Desenhe a bissetriz do ângulo
(constrói-se com compasso: interseção de arcos iguais a partir das duas pernas e ligar a ).
Passo 5
Construção prática — localizar o incentro
(método direto por paralela a
à distância
)
- Queremos localizar o ponto
sobre a bissetriz tal que a distância perpendicular de até seja . - Para traçar a reta paralela a
a distância para o interior do ângulo: - Em dois pontos distintos sobre a reta
(por exemplo nos pontos e num ponto intermediário entre e escolhido arbitrariamente), construa em cada um a perpendicular a . - Em cada perpendicular marque, no interior do ângulo, um ponto à distância
da reta (com o compasso abra a distância e marque). - Una esses dois pontos marcados; a reta que liga esses dois pontos é a reta paralela a
e à distância que passa pelo lugar geométrico dos pontos cuja distância a é .
- Em dois pontos distintos sobre a reta
- A interseção dessa reta paralela com a bissetriz do ângulo
é o incentro .
(Alternativa: pode-se usar diretamente a fórmulae marcar no segmento da bissetriz o ponto a essa distância a partir de ; mas a construção por paralela exige apenas régua e compasso e evita cálculo numérico.)
Passo 6
Construção prática — traçar o incírculo
- Com centro em
e raio , desenhe o círculo. Esse será o incírculo candidato: está automaticamente tangente às duas pernas do ângulo em distância .
Passo 7
Construção prática — obter
traçando a tangente a partir de
- Do ponto
traçar as tangentes ao círculo com centro e raio . Procedimento clássico para tangentes a partir de ponto externo : - Trace o segmento
. - Desenhe a circunferência cujo diâmetro é
(ou, equivalentemente, o círculo com centro no ponto médio de e raio ). - Interseccione essa circunferência de diâmetro
com o incírculo (circunferência de centro e raio ). Os pontos de interseção são exatamente os pontos de tangência entre as tangentes traçadas de ao incírculo. Isso decorre do fato de que, para um ponto de tangência , o ângulo é reto, logo pertence à circunferência de diâmetro , e também pertence ao incírculo. - Marque os pontos de interseção
e (podem ser dois; escolha o que gera triângulo no interior do ângulo). - Traçando as retas
e obtêm-se as duas tangentes de ao incírculo.
- Trace o segmento
- Intercepte a tangente apropriada com o outro ramo do ângulo
(o ramo que contém ). A intersecção da reta tangente com esse ramo dá o ponto . - Assim obtemos o triângulo
. O incírculo é tangente a e a por construção; por simetria e por na bissetriz, ele também ficará tangente a .
Passo 8
Verificações finais e comentários sobre existência e casos limites
- Verificação rápida: o ponto de tangência sobre
encontrado pela construção deve estar a distância de . Isso é coerente com as fórmulas do Passo 2. - Condição de existência recapitulação: é necessário e suficiente que
Se o ponto coincide com o ponto de tangência e a construção degeneraria (o lado teria sentido infinito); se não é possível construir. - Observação prática: na construção com régua e compasso a etapa de traçar a reta paralela a
à distância e a etapa de traçar as tangentes a partir de são as mais importantes e têm procedimentos padrão (como descrevi no Passo 5 e Passo 7). Alternativamente, se se aceita usar a medida , pode-se marcar diretamente na bissetriz a essa distância e seguir o resto.
Resposta
Condição de existência:
.\nSe existir, construir
sobre um ramo de
com
; traçar a bissetriz de
e a reta paralela a
à distância
; sua interseção é o incentro
. Desenhar o círculo de centro
e raio
. Traçar as tangentes do incírculo a partir de
(interseção do círculo de diâmetro
com o incírculo dá os pontos de tangência) e intersectar a tangente apropriada com o outro ramo de
para obter
.