Construir o triângulo ABC conhecendo o ângulo \widehat{\mathrm{A}}, o lado b e o raio r do círculo inscrito.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto para ficar bem claro):
  • Dados fornecidos:
    • O ângulo do vértice A: \widehat{A} (valor conhecido).
    • O comprimento do lado b, ou seja b=|AC| (valor conhecido).
    • O raio do círculo inscrito r (valor conhecido).
  • O que pedir construir:
    • Construir o triângulo ABC (posicionar os pontos B e C a partir de A, do ramo que forma \widehat{A}, de modo que AC=b e o incírculo tenha raio r).
Informações relevantes que já temos e que vamos usar:
  • O incentro I (centro do incírculo) pertence à bissetriz do ângulo \widehat{A}.
  • A distância do incentro à reta AC (e também à reta AB) é exatamente r.
  • O ponto de tangência do incírculo com AC está localizado a uma distância de A igual a AE = r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr) (essa relação será demonstrada e usada).
  • Existe uma condição óbvia de existência geométrica: o ponto de tangência deve ficar entre A e C, portanto r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)<b. Se isso não ocorrer, não existe triângulo com esses dados.

Passo 2

Demonstração e fórmulas úteis (aulas rápidas necessárias para a construção).
  • Considere a bissetriz do ângulo \widehat{A} e o incentro I sobre essa bissetriz. Do triângulo formado por A, I e a projeção E de I sobre AC (onde E é o ponto de tangência do incírculo com AC), temos um triângulo retângulo em E.
  • O ângulo entre AI (bissetriz) e AC vale \tfrac{A}{2}. No triângulo retângulo AIE vale: \sin\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)=\frac{IE}{AI}=\frac{r}{AI}.Portanto AI=\frac{r}{\sin\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)}.Essa fórmula diz: a partir de A, o incentro I fica sobre a bissetriz a uma distância AI conhecida em função de r e A.
  • Ainda no mesmo triângulo retângulo, a distância ao longo de AC desde A até o ponto de tangência E (adjacente ao ângulo \tfrac{A}{2}) é AE = AI\cos\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr) = \frac{r}{\sin\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)}\cos\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)=r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr).Essa é a fórmula usada para verificar existência e para localizar o ponto de tangência sobre AC.
  • Condição de existência (necessária): o ponto de tangência E deve ficar entre A e C, logo r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr) < b.Se r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)=b temos degenerescência (o ponto C coincide com o ponto de tangência); se r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)>b não existe construção.

Passo 3

Plano geométrico da construção (visão geral antes do procedimento prático)
  • Traçar em A os dois ramos que formam o ângulo \widehat{A}. No ramo destinado a C marcar o ponto C tal que AC=b.
  • Construir o incentro I como interseção entre a bissetriz de \widehat{A} e a reta paralela a AC que esteja à distância r de AC (essa reta paralela é o lugar geométrico dos pontos a distância r de AC).
  • Traçar o incírculo de centro I e raio r.
  • A partir do ponto C traçar as tangentes ao incírculo; a tangente que intercepta o outro ramo do ângulo \widehat{A} define o ponto B.
  • Verificar que o segmento BC é uma das tangentes do círculo, e assim o incírculo ficará inscrito no triângulo formado por A, B, C.
Agora vou transformar esse plano em uma sequência prática, passo a passo de construção geométrica, com indicações de como traçar cada reta ou ponto usando régua e compasso.

Passo 4

Construção prática — traçar ângulo, marcar C e bissetriz
  1. Num papel, marque o ponto A.
  2. A partir de A, desenhe os dois ramos do ângulo \widehat{A} com a medida dada (use transferidor ou construção por compasso se preferir).
  3. No ramo que será AC, marque o ponto C tal que AC=b. (Usar compasso: abra para b e marque o arco sobre o ramo.)
  4. Desenhe a bissetriz do ângulo \widehat{A} (constrói-se com compasso: interseção de arcos iguais a partir das duas pernas e ligar a A).

Passo 5

Construção prática — localizar o incentro I (método direto por paralela a AC à distância r)
  1. Queremos localizar o ponto I sobre a bissetriz tal que a distância perpendicular de I até AC seja r.
  2. Para traçar a reta paralela a AC a distância r para o interior do ângulo:
    • Em dois pontos distintos sobre a reta AC (por exemplo nos pontos A e num ponto intermediário entre A e C escolhido arbitrariamente), construa em cada um a perpendicular a AC.
    • Em cada perpendicular marque, no interior do ângulo, um ponto à distância r da reta AC (com o compasso abra a distância r e marque).
    • Una esses dois pontos marcados; a reta que liga esses dois pontos é a reta paralela a AC e à distância r que passa pelo lugar geométrico dos pontos cuja distância a AC é r.
  3. A interseção dessa reta paralela com a bissetriz do ângulo A é o incentro I.
    (Alternativa: pode-se usar diretamente a fórmula AI=\dfrac{r}{\sin(\tfrac{A}{2})} e marcar no segmento da bissetriz o ponto a essa distância a partir de A; mas a construção por paralela exige apenas régua e compasso e evita cálculo numérico.)

Passo 6

Construção prática — traçar o incírculo
  1. Com centro em I e raio r, desenhe o círculo. Esse será o incírculo candidato: está automaticamente tangente às duas pernas do ângulo em distância r.

Passo 7

Construção prática — obter B traçando a tangente a partir de C
  1. Do ponto C traçar as tangentes ao círculo com centro I e raio r. Procedimento clássico para tangentes a partir de ponto externo C:
    • Trace o segmento CI.
    • Desenhe a circunferência cujo diâmetro é CI (ou, equivalentemente, o círculo com centro no ponto médio M de CI e raio \tfrac{CI}{2}).
    • Interseccione essa circunferência de diâmetro CI com o incírculo (circunferência de centro I e raio r). Os pontos de interseção são exatamente os pontos de tangência T entre as tangentes traçadas de C ao incírculo. Isso decorre do fato de que, para um ponto de tangência T, o ângulo ITC é reto, logo T pertence à circunferência de diâmetro CI, e também T pertence ao incírculo.
    • Marque os pontos de interseção T_1 e T_2 (podem ser dois; escolha o que gera triângulo no interior do ângulo).
    • Traçando as retas CT_1 e CT_2 obtêm-se as duas tangentes de C ao incírculo.
  2. Intercepte a tangente apropriada com o outro ramo do ângulo \widehat{A} (o ramo que contém B). A intersecção da reta tangente com esse ramo dá o ponto B.
  3. Assim obtemos o triângulo ABC. O incírculo é tangente a AC e a AB por construção; por simetria e por I na bissetriz, ele também ficará tangente a BC.

Passo 8

Verificações finais e comentários sobre existência e casos limites
  • Verificação rápida: o ponto de tangência sobre AC encontrado pela construção deve estar a distância AE=r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)de A. Isso é coerente com as fórmulas do Passo 2.
  • Condição de existência recapitulação: é necessário e suficiente que r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr) < b.Se r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)=b o ponto C coincide com o ponto de tangência e a construção degeneraria (o lado BC teria sentido infinito); se r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)>b não é possível construir.
  • Observação prática: na construção com régua e compasso a etapa de traçar a reta paralela a AC à distância r e a etapa de traçar as tangentes a partir de C são as mais importantes e têm procedimentos padrão (como descrevi no Passo 5 e Passo 7). Alternativamente, se se aceita usar a medida AI=\dfrac{r}{\sin(\tfrac{A}{2})}, pode-se marcar I diretamente na bissetriz a essa distância e seguir o resto.

Resposta

Condição de existência: b>r\cot\!\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr).\nSe existir, construir C sobre um ramo de A com AC=b; traçar a bissetriz de \widehat{A} e a reta paralela a AC à distância r; sua interseção é o incentro I. Desenhar o círculo de centro I e raio r. Traçar as tangentes do incírculo a partir de C (interseção do círculo de diâmetro CI com o incírculo dá os pontos de tangência) e intersectar a tangente apropriada com o outro ramo de A para obter B.

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