Construir um triângulo conhecendo os comprimentos da altura, mediana e bissetriz relativas a um mesmo vértice.
Passo 1
O enunciado dá os comprimentos das três cevas que saem do mesmo vértice
de um triângulo
:
- a altura relativa a
: (o pé está em ); - a mediana relativa a
: (o ponto médio está em ); - a bissetriz relativa a
: (o ponto está em ).
O que se pede: construir (ou determinar) o triângulo
(isto é, encontrar as posições de
e
sobre a reta
e traçar os segmentos
e
), a partir dos valores conhecidos
.
Informações observáveis e importantes fornecidas:
- São dadas as três medidas numéricas
, e . - Os pontos
, , pertencem à mesma reta . -
é perpendicular a nada necessariamente; apenas . - Condições mínimas para existir construção:
e (para que os pontos e fiquem fora de em relação à perpendicular), e resultados intermediários terão que dar comprimentos reais (verificaremos).
Passo 2
Posicionamento inicial e cálculo das projeções sobre
.
-
Monte uma reta qualquer que será a reta
. Escolha um ponto nessa reta e chame-o de (será o pé da altura). Sobre essa reta construa a perpendicular por e marque sobre ela o ponto tal que . Isso coloca o vértice a distância correta da reta . -
Explicação geométrica útil (por que podemos fazer isso): o triângulo retângulo
tem hipotenusa e cateto . Logo o segmento (a projeção horizontal de sobre ) satisfaz o teorema de Pitágoras:
Portanto
. Do mesmo modo, no triângulo retângulo
(pois
e
) vale
ou seja
.
- Construa os pontos
e sobre a reta a partir de : marque na distância a partir de (escolha um lado arbitrário da perpendicular; se o triângulo existir tanto faz se a direita ou a esquerda), e marque na distância a partir de (no mesmo sentido escolhido). Agora temos a reta com três pontos fixos e a posição de sobre a perpendicular em .
Observação prática de construção: construir
geometricamente se faz traçando um segmento de comprimento
e construindo um triângulo retângulo com cateto
de modo que a outra projeção sobre a base seja
(teorema de Pitágoras invertido). O mesmo para
.
Passo 3
Colocar incógnitas e escrever as relações geométricas principais.
- Denotemos por
Esses dois números já foram construídos no passo anterior.
- Seja
o comprimento do lado oposto a . Como é o ponto médio de , podemos escrever
onde
é a metade do comprimento
. O objetivo agora é determinar
(positivo).
- Relações de distância a partir de
(tomando em e como eixo ):
- A bissetriz do ângulo
que atinge em satisfaz o Teorema da Bissetriz:
Em coordenadas isso dá (lembrando
e
):
Passo 4
Redução algébrica da equação da bissetriz até isolar
.
- Para simplificar, defina
. Então e . A equação da bissetriz torna-se
Quadrando ambos os lados e fazendo as operações algébricas (mostrar passo a passo):
- Colocando tudo num único produto e desenvolvendo, chega-se à igualdade
Ao expandir e agrupar termos, há um cancelamento sistemático que reduz a equação a
Ignorando a solução degenerada
, obtém-se a condição
- Usando
(porque ), simplifica-se:
mas melhor ainda, observe que
. Substituindo e reorganizando (fazer a conta com calma) obtém-se a forma muito simples
- Substituindo
e pelas expressões em termos de :
temos a fórmula explícita
- Verificação de sinais e existência: para que
é necessário que o numerador e denominador tenham sinais compatíveis. Em prática, se e foram colocados no mesmo sentido a partir de , precisa ocorrer (ou os sinais apropriados) para que a quantidade seja positiva; caso contrário não existe triângulo com esses dados. Em termos práticos: verifique que e sejam maiores que e que a expressão acima produza . Se der negativo, os comprimentos dados não são compatíveis.
Passo 5
Construção geométrica final (como desenhar com régua e compasso) e determinação de
e
.
- A partir do Passo 4 calcule geometricamente o segmento de comprimento
. Para construir com régua e compasso use construções padrão:
- multiplicação e divisão de segmentos por meio de razões (semelhança de triângulos);
- extração de raiz quadrada por semelhança (ex.: dado um segmento de comprimento
, construir desenhando um semicírculo e usando propriedades de homotetia do triângulo retângulo inscrito).
Se quiser, pode realizar os cálculos numéricos (se o enunciado permitir lápis e régua com medidas) e construir o segmento com comprimento obtido.
- Uma vez obtido
, marque os pontos e na reta (já fixada) por
Isto é, a partir de
meça o comprimento
para localizar
(passo 2) e então a partir de
marque
para os dois lados:
fica a distância
à esquerda de
e
a distância
à direita (na convenção que adotou).
- Una
a e a . Pronto: o triângulo construído tem exatamente , e com e conforme marcados.
Passo 6
Resumo das fórmulas e observações finais (o que medir, como checar).
- Calcule/construa
- Calcule/construa
- Determine
- A verificação final: calcule (ou meça)
e e confira que a razão (com e ) é igual a . Se tudo bate, a construção está correta.
Força aí — com estes passos você consegue desenhar o triângulo a partir de
. Se quiser eu faço um exemplo numérico detalhado (com números concretos) e mostro cada medida desenhada, para você treinar.