Construir um triângulo conhecendo os comprimentos da altura, mediana e bissetriz relativas a um mesmo vértice.

Passo 1

O enunciado dá os comprimentos das três cevas que saem do mesmo vértice A de um triângulo ABC:
  • a altura relativa a A: AH=h (o pé H está em BC);
  • a mediana relativa a A: AM=m (o ponto médio M está em BC);
  • a bissetriz relativa a A: AD=l (o ponto D está em BC).
O que se pede: construir (ou determinar) o triângulo ABC (isto é, encontrar as posições de B e C sobre a reta BC e traçar os segmentos AB e AC), a partir dos valores conhecidos h,m,l.
Informações observáveis e importantes fornecidas:
  • São dadas as três medidas numéricas h, m e l.
  • Os pontos H, M, D pertencem à mesma reta BC.
  • AM é perpendicular a nada necessariamente; apenas AH\perp BC.
  • Condições mínimas para existir construção: m>h e l>h (para que os pontos M e D fiquem fora de A em relação à perpendicular), e resultados intermediários terão que dar comprimentos reais (verificaremos).

Passo 2

Posicionamento inicial e cálculo das projeções sobre BC.
  1. Monte uma reta qualquer que será a reta BC. Escolha um ponto nessa reta e chame-o de H (será o pé da altura). Sobre essa reta construa a perpendicular por H e marque sobre ela o ponto A tal que AH=h. Isso coloca o vértice A a distância correta da reta BC.
  2. Explicação geométrica útil (por que podemos fazer isso): o triângulo retângulo AMH tem hipotenusa AM=m e cateto AH=h. Logo o segmento HM (a projeção horizontal de AM sobre BC) satisfaz o teorema de Pitágoras:
HM^{2}=AM^{2}-AH^{2}=m^{2}-h^{2}.
Portanto HM=\sqrt{m^{2}-h^{2}}. Do mesmo modo, no triângulo retângulo ADH (pois AH\perp BC e D\in BC) vale
HD^{2}=AD^{2}-AH^{2}=l^{2}-h^{2},
ou seja HD=\sqrt{l^{2}-h^{2}}.
  1. Construa os pontos M e D sobre a reta BC a partir de H: marque M na distância HM=\sqrt{m^{2}-h^{2}} a partir de H (escolha um lado arbitrário da perpendicular; se o triângulo existir tanto faz se a direita ou a esquerda), e marque D na distância HD=\sqrt{l^{2}-h^{2}} a partir de H (no mesmo sentido escolhido). Agora temos a reta BC com três pontos fixos H, M, D e a posição de A sobre a perpendicular em H.
Observação prática de construção: construir \sqrt{m^{2}-h^{2}} geometricamente se faz traçando um segmento de comprimento m e construindo um triângulo retângulo com cateto h de modo que a outra projeção sobre a base seja \sqrt{m^{2}-h^{2}} (teorema de Pitágoras invertido). O mesmo para \sqrt{l^{2}-h^{2}}.

Passo 3

Colocar incógnitas e escrever as relações geométricas principais.
  1. Denotemos por
x_M := HM=\sqrt{m^{2}-h^{2}},\qquad x_D := HD=\sqrt{l^{2}-h^{2}}.
Esses dois números já foram construídos no passo anterior.
  1. Seja a=BC o comprimento do lado oposto a A. Como M é o ponto médio de BC, podemos escrever
B\\ \text{em}\\ x_B=x_M - s,\qquad C\\ \text{em}\\ x_C=x_M + s,
onde s=\dfrac{a}{2} é a metade do comprimento BC. O objetivo agora é determinar s (positivo).
  1. Relações de distância a partir de A(0,h) (tomando H em x=0 e BC como eixo x):
AB^{2}=(x_M - s)^{2}+h^{2},\qquad AC^{2}=(x_M + s)^{2}+h^{2}.
  1. A bissetriz do ângulo A que atinge BC em D satisfaz o Teorema da Bissetriz:
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.
Em coordenadas isso dá (lembrando BD=x_D-(x_M-s)=x_D-x_M+s e DC=(x_M+s)-x_D=x_M+s-x_D):
\frac{x_D-x_M+s}{x_M+s-x_D}=\frac{\sqrt{(x_M - s)^{2}+h^{2}}}{\sqrt{(x_M + s)^{2}+h^{2}}}.

Passo 4

Redução algébrica da equação da bissetriz até isolar s.
  1. Para simplificar, defina u:=x_D-x_M. Então BD=u+s e DC=s-u. A equação da bissetriz torna-se
\frac{u+s}{s-u}=\sqrt{\frac{(x_M - s)^{2}+h^{2}}{(x_M + s)^{2}+h^{2}}}.
Quadrando ambos os lados e fazendo as operações algébricas (mostrar passo a passo):
  1. Colocando tudo num único produto e desenvolvendo, chega-se à igualdade
(s+u)^{2}\bigl((x_M + s)^{2}+h^{2}\bigr)=(s-u)^{2}\bigl((x_M - s)^{2}+h^{2}\bigr).
Ao expandir e agrupar termos, há um cancelamento sistemático que reduz a equação a
4s\bigl[\,u\bigl(x_M^{2}+s^{2}+h^{2}\bigr)+x_M\bigl(s^{2}+u^{2}\bigr)\bigr]=0.
Ignorando a solução degenerada s=0, obtém-se a condição
u\bigl(x_M^{2}+s^{2}+h^{2}\bigr)+x_M\bigl(s^{2}+u^{2}\bigr)=0.
  1. Usando x_M^{2}+h^{2}=m^{2} (porque x_M=\sqrt{m^{2}-h^{2}}), simplifica-se:
u\bigl(m^{2}+s^{2}-x_M^{2}\bigr)+x_M\bigl(s^{2}+u^{2}\bigr)=0,
mas melhor ainda, observe que u+x_M=x_D. Substituindo e reorganizando (fazer a conta com calma) obtém-se a forma muito simples
s^{2}=\frac{(x_M-x_D)\bigl(h^{2}+x_M x_D\bigr)}{x_D}.
  1. Substituindo x_M e x_D pelas expressões em termos de m,h,l:
x_M=\sqrt{m^{2}-h^{2}},\qquad x_D=\sqrt{l^{2}-h^{2}},
temos a fórmula explícita
s^{2}=\frac{\bigl(\sqrt{m^{2}-h^{2}}-\sqrt{l^{2}-h^{2}}\bigr)\bigl(h^{2}+\sqrt{m^{2}-h^{2}}\,\sqrt{l^{2}-h^{2}}\bigr)}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}.
  1. Verificação de sinais e existência: para que s^{2}>0 é necessário que o numerador e denominador tenham sinais compatíveis. Em prática, se x_M e x_D foram colocados no mesmo sentido a partir de H, precisa ocorrer x_M>x_D (ou os sinais apropriados) para que a quantidade seja positiva; caso contrário não existe triângulo com esses dados. Em termos práticos: verifique que m e l sejam maiores que h e que a expressão acima produza s^{2}>0. Se der negativo, os comprimentos dados não são compatíveis.

Passo 5

Construção geométrica final (como desenhar com régua e compasso) e determinação de B e C.
  1. A partir do Passo 4 calcule geometricamente o segmento de comprimento s=\sqrt{\dfrac{(x_M-x_D)(h^{2}+x_M x_D)}{x_D}}. Para construir s com régua e compasso use construções padrão:
  • multiplicação e divisão de segmentos por meio de razões (semelhança de triângulos);
  • extração de raiz quadrada por semelhança (ex.: dado um segmento de comprimento q, construir \sqrt{q} desenhando um semicírculo e usando propriedades de homotetia do triângulo retângulo inscrito).
    Se quiser, pode realizar os cálculos numéricos (se o enunciado permitir lápis e régua com medidas) e construir o segmento com comprimento obtido.
  1. Uma vez obtido s, marque os pontos B e C na reta BC (já fixada) por
HB = x_M - s,\qquad HC = x_M + s.
Isto é, a partir de H meça o comprimento x_M para localizar M (passo 2) e então a partir de M marque s para os dois lados: B fica a distância s à esquerda de M e C a distância s à direita (na convenção que adotou).
  1. Una A a B e a C. Pronto: o triângulo ABC construído tem exatamente AH=h, AM=m e AD=l com D e M conforme marcados.

Passo 6

Resumo das fórmulas e observações finais (o que medir, como checar).
  • Calcule/construa
x_M=\sqrt{m^{2}-h^{2}},\qquad x_D=\sqrt{l^{2}-h^{2}}.
  • Calcule/construa
s=\sqrt{\dfrac{(x_M-x_D)\bigl(h^{2}+x_M x_D\bigr)}{x_D}}.
  • Determine
HB=x_M - s,\qquad HC=x_M + s.
  • A verificação final: calcule (ou meça) AB=\sqrt{(x_M-s)^{2}+h^{2}} e AC=\sqrt{(x_M+s)^{2}+h^{2}} e confira que a razão BD/DC (com BD=x_D-(x_M-s) e DC=(x_M+s)-x_D) é igual a AB/AC. Se tudo bate, a construção está correta.
Força aí — com estes passos você consegue desenhar o triângulo a partir de h,m,l. Se quiser eu faço um exemplo numérico detalhado (com números concretos) e mostro cada medida desenhada, para você treinar.

Resposta

HM=\sqrt{m^{2}-h^{2}},\quad HD=\sqrt{l^{2}-h^{2}}
s=\sqrt{\dfrac{\bigl(\sqrt{m^{2}-h^{2}}-\sqrt{l^{2}-h^{2}}\bigr)\bigl(h^{2}+\sqrt{m^{2}-h^{2}}\,\sqrt{l^{2}-h^{2}}\bigr)}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}}
HB=\sqrt{m^{2}-h^{2}}-s,\quad HC=\sqrt{m^{2}-h^{2}}+s

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