Construir o triângulo ABC conhecendo a altura \mathrm{h}_{\mathrm{a}}, a mediana m_{a} e o raio R do círculo circunscrito.

Passo 1

O enunciado pede: construir o triângulo ABC sabendo os três comprimentos dados abaixo (todos positivos):
  • a altura \mathrm{h}_{a} relativa ao lado BC;
  • a mediana m_{a} saindo de A até o ponto médio M de BC;
  • o raio R do circuncírculo.
Informações relevantes fornecidas:
  • Dados: \mathrm{h}_{a}, m_{a} e R.
  • Objetivo: obter geometricamente (ou obter as fórmulas para) os vértices A,B,C do triângulo ABC equivalente a essas medidas.

Passo 2

Escolha conveniente para começar a resolver (não é solução final, é só organizar os dados):
  • Colocar BC como a base horizontal do triângulo e chamar a=BC (o comprimento que precisamos determinar).
  • Denotar M o ponto médio de BC. Colocar o eixo x sobre BC com M na origem: então B=(-\tfrac{a}{2},0) e C=(\tfrac{a}{2},0).
  • A altura \mathrm{h}_{a} implica que o pé da perpendicular de A em BC está em algum ponto D=(x_D,0) e A tem coordenada y=\mathrm{h}_{a}.
  • A mediana m_{a} é a distância de A até M. Portanto, se escrevemos A=(x_0,\mathrm{h}_{a}), temos a relação entre m_{a}, x_0 e \mathrm{h}_{a}:
m_{a}^{2}=x_0^{2}+\mathrm{h}_{a}^{2}.
Dessa relação segue imediatamente a fórmula útil
x_0=\sqrt{\,m_{a}^{2}-\mathrm{h}_{a}^{2}\,},
que é a abscissa de A (positiva ou negativa, refletindo os dois espelhos possíveis do triângulo).
Explicação didática rápida: a mediana até o ponto médio M forma um segmento AM. Se colocamos M na origem, AM tem catetos x_0 (horizontal) e \mathrm{h}_{a} (vertical), então aplica-se o Teorema de Pitágoras para achar x_0.

Passo 3

Relacionar o raio do circuncírculo R com as coordenadas: o centro do circuncírculo (circuncentro) fica na bissetriz perpendicular de BC, isto é, no eixo vertical x=0. Sendo O=(0,y_0) o circuncentro, as distâncias OB e OA valem R. Escrevemos:
OB^{2}=\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}+y_0^{2}=R^{2},
OA^{2}=x_0^{2}+(\mathrm{h}_{a}-y_0)^{2}=R^{2}.
Igualando as duas expressões (pois ambas são R^{2}) e simplificando y_0^{2}, obtemos
\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}=x_0^{2}+\mathrm{h}_{a}^{2}-2\mathrm{h}_{a}y_0.
Como x_0^{2}+\mathrm{h}_{a}^{2}=m_{a}^{2} (Passo 2), isolamos y_0:
y_0=\frac{m_{a}^{2}-\tfrac{a^{2}}{4}}{2\mathrm{h}_{a}}.
Agora substituímos y_0 de volta na equação OB^{2}=R^{2}, escrevendo u^{2}=\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2} para simplificar os cálculos. Temos:
u^{2}+y_0^{2}=R^{2},\qquad y_0=\frac{m_{a}^{2}-u^{2}}{2\mathrm{h}_{a}}.
Substituindo:
u^{2}+\left(\frac{m_{a}^{2}-u^{2}}{2\mathrm{h}_{a}}\right)^{2}=R^{2}.
Multiplicando por 4\mathrm{h}_{a}^{2} e rearranjando obtemos uma equação quadrática em t:=u^{2}=(\tfrac{a}{2})^{2}:
t^{2}+t\bigl(4\mathrm{h}_{a}^{2}-2m_{a}^{2}\bigr)+\bigl(m_{a}^{4}-4R^{2}\mathrm{h}_{a}^{2}\bigr)=0.

Passo 4

Resolver a quadrática para t. Aplicando a fórmula quadrática, o discriminante \Delta é
\Delta=(4\mathrm{h}_{a}^{2}-2m_{a}^{2})^{2}-4\bigl(m_{a}^{4}-4R^{2}\mathrm{h}_{a}^{2}\bigr).
Fazendo as contas (expandindo e simplificando) obtém-se uma forma agradável:
\Delta=16\mathrm{h}_{a}^{2}\bigl(\mathrm{h}_{a}^{2}-m_{a}^{2}+R^{2}\bigr).
Logo
\sqrt{\Delta}=4\mathrm{h}_{a}\sqrt{\mathrm{h}_{a}^{2}-m_{a}^{2}+R^{2}},
pressupondo que o radicando seja não negativo (condição de existência geométrica; mais abaixo comentamos as condições).
As raízes para t são então
t = m_{a}^{2}-2\mathrm{h}_{a}^{2}\pm 2\mathrm{h}_{a}\sqrt{\mathrm{h}_{a}^{2}-m_{a}^{2}+R^{2}}.
Lembrando que t=(\tfrac{a}{2})^{2}, obtemos para o lado a=BC:
a=2\sqrt{\,m_{a}^{2}-2\mathrm{h}_{a}^{2}\pm 2\mathrm{h}_{a}\sqrt{\mathrm{h}_{a}^{2}-m_{a}^{2}+R^{2}}\,}.
Observações importantes sobre sinais e existência:
  • Deve valer \;m_{a}\ge \mathrm{h}_{a}\; (pois x_0=\sqrt{m_{a}^{2}-\mathrm{h}_{a}^{2}} existe).
  • Deve valer \;\mathrm{h}_{a}^{2}-m_{a}^{2}+R^{2}\ge 0\; para que o discriminante seja não negativo.
  • Das duas escolhas do sinal \pm na expressão de t, deve-se escolher aquela que torna t>0. Em geral existe uma escolha válida (às vezes duas), correspondendo a até duas configurações geométricas compatíveis (espelhos ou soluções diferentes); na prática uma das raízes pode ser negativa e descartada.
  • Uma vez obtido a, temos t=(\tfrac{a}{2})^{2} e então y_0=\dfrac{m_{a}^{2}-t}{2\mathrm{h}_{a}}.

Passo 5

Calcular os pontos e descrever a construção geométrica explícita (passo a passo prático, assumindo que já se construiu geometricamente os comprimentos numéricos que aparecem nas fórmulas — soma, diferença e raiz quadrada são construtíveis com régua e compasso):
  1. Calcule (geometricamente) t=(\tfrac{a}{2})^{2} usando a fórmula do Passo 4 e, em seguida, a=2\sqrt{t}.
  2. Desenhe um segmento BC de comprimento a. Marque o seu ponto médio M.
  3. Construa x_0=\sqrt{\,m_{a}^{2}-\mathrm{h}_{a}^{2}\,} (isto vem de m_{a}^{2}=x_0^{2}+\mathrm{h}_{a}^{2}). Sobre a reta BC a partir de M meça e marque o ponto D tal que MD=x_0. Há duas escolhas possíveis de lado (direita ou esquerda), que geram os dois bíons espelhados do triângulo.
  4. Em D trace a perpendicular a BC e sobre ela marque o ponto A tal que DA=\mathrm{h}_{a} (no sentido acima de BC, ou abaixo para o espelho). Assim obtém-se A.
  5. Os pontos B e C já estão fixos; com A encontrado, o triângulo ABC está construído.
  6. Como verificação opcional: calcule y_0=\dfrac{m_{a}^{2}-a^{2}/4}{2\mathrm{h}_{a}} e marque o circuncentro O sobre a perpendicular pelo ponto médio M na distância OM=|y_0|. Desenhe a circunferência de centro O e raio R; ela deve passar por A,B,C. Se não passar, algum sinal/raíiz foi escolhido incorretamente.
Comentário didático: geometricamente, tudo se resume a determinar o comprimento da base a a partir das equações que vinculam mediana, altura e circuncírculo; depois a posição de A é determinada por projeção (a altura) a uma distância horizontal x_0 dada pela relação pitagórica da mediana.

Passo 6

Resumo das fórmulas úteis para aplicar na construção (repito de forma condensada para consulta rápida):
x_0=\sqrt{\,m_{a}^{2}-\mathrm{h}_{a}^{2}\,},
t=\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}=m_{a}^{2}-2\mathrm{h}_{a}^{2}\pm 2\mathrm{h}_{a}\sqrt{\mathrm{h}_{a}^{2}-m_{a}^{2}+R^{2}},
a=2\sqrt{t},
y_0=\frac{m_{a}^{2}-a^{2}/4}{2\mathrm{h}_{a}}.
Condições de existência (relembrando):
m_{a}\ge \mathrm{h}_{a},\qquad \mathrm{h}_{a}^{2}-m_{a}^{2}+R^{2}\ge 0,
e escolher o sinal \pm que dá t>0.

Resposta

\displaystyle a \;=\; 2\sqrt{\,m_{a}^{2}-2\mathrm{h}_{a}^{2}\pm 2\mathrm{h}_{a}\sqrt{\mathrm{h}_{a}^{2}-m_{a}^{2}+R^{2}}\,}
\displaystyle x_{0} \;=\; \sqrt{\,m_{a}^{2}-\mathrm{h}_{a}^{2}\,}
\displaystyle y_{0} \;=\; \frac{m_{a}^{2}-\tfrac{a^{2}}{4}}{2\mathrm{h}_{a}}

Exercícios relacionados