Construir o triângulo ABC conhecendo a altura
, a mediana
e o raio
do círculo circunscrito.
Passo 1
O enunciado pede: construir o triângulo
sabendo os três comprimentos dados abaixo (todos positivos):
- a altura
relativa ao lado ; - a mediana
saindo de até o ponto médio de ; - o raio
do circuncírculo.
Informações relevantes fornecidas:
- Dados:
, e . - Objetivo: obter geometricamente (ou obter as fórmulas para) os vértices
do triângulo equivalente a essas medidas.
Passo 2
Escolha conveniente para começar a resolver (não é solução final, é só organizar os dados):
- Colocar
como a base horizontal do triângulo e chamar (o comprimento que precisamos determinar). - Denotar
o ponto médio de . Colocar o eixo sobre com na origem: então e . - A altura
implica que o pé da perpendicular de em está em algum ponto e tem coordenada . - A mediana
é a distância de até . Portanto, se escrevemos , temos a relação entre , e :
Dessa relação segue imediatamente a fórmula útil
que é a abscissa de
(positiva ou negativa, refletindo os dois espelhos possíveis do triângulo).
Explicação didática rápida: a mediana até o ponto médio
forma um segmento
. Se colocamos
na origem,
tem catetos
(horizontal) e
(vertical), então aplica-se o Teorema de Pitágoras para achar
.
Passo 3
Relacionar o raio do circuncírculo
com as coordenadas: o centro do circuncírculo (circuncentro) fica na bissetriz perpendicular de
, isto é, no eixo vertical
. Sendo
o circuncentro, as distâncias
e
valem
. Escrevemos:
Igualando as duas expressões (pois ambas são
) e simplificando
, obtemos
Como
(Passo 2), isolamos
:
Agora substituímos
de volta na equação
, escrevendo
para simplificar os cálculos. Temos:
Substituindo:
Multiplicando por
e rearranjando obtemos uma equação quadrática em
:
Passo 4
Resolver a quadrática para
. Aplicando a fórmula quadrática, o discriminante
é
Fazendo as contas (expandindo e simplificando) obtém-se uma forma agradável:
Logo
pressupondo que o radicando seja não negativo (condição de existência geométrica; mais abaixo comentamos as condições).
As raízes para
são então
Lembrando que
, obtemos para o lado
:
Observações importantes sobre sinais e existência:
- Deve valer
(pois existe). - Deve valer
para que o discriminante seja não negativo. - Das duas escolhas do sinal
na expressão de , deve-se escolher aquela que torna . Em geral existe uma escolha válida (às vezes duas), correspondendo a até duas configurações geométricas compatíveis (espelhos ou soluções diferentes); na prática uma das raízes pode ser negativa e descartada. - Uma vez obtido
, temos e então .
Passo 5
Calcular os pontos e descrever a construção geométrica explícita (passo a passo prático, assumindo que já se construiu geometricamente os comprimentos numéricos que aparecem nas fórmulas — soma, diferença e raiz quadrada são construtíveis com régua e compasso):
- Calcule (geometricamente)
usando a fórmula do Passo 4 e, em seguida, . - Desenhe um segmento
de comprimento . Marque o seu ponto médio . - Construa
(isto vem de ). Sobre a reta a partir de meça e marque o ponto tal que . Há duas escolhas possíveis de lado (direita ou esquerda), que geram os dois bíons espelhados do triângulo. - Em
trace a perpendicular a e sobre ela marque o ponto tal que (no sentido acima de , ou abaixo para o espelho). Assim obtém-se . - Os pontos
e já estão fixos; com encontrado, o triângulo está construído. - Como verificação opcional: calcule
e marque o circuncentro sobre a perpendicular pelo ponto médio na distância . Desenhe a circunferência de centro e raio ; ela deve passar por . Se não passar, algum sinal/raíiz foi escolhido incorretamente.
Comentário didático: geometricamente, tudo se resume a determinar o comprimento da base
a partir das equações que vinculam mediana, altura e circuncírculo; depois a posição de
é determinada por projeção (a altura) a uma distância horizontal
dada pela relação pitagórica da mediana.
Passo 6
Resumo das fórmulas úteis para aplicar na construção (repito de forma condensada para consulta rápida):
Condições de existência (relembrando):
e escolher o sinal
que dá
.