Construir o triângulo ABC conhecendo o perímetro 2 p e os ângulos \widehat{\mathrm{B}} e \widehat{\mathrm{C}}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O perímetro do triângulo ABC é 2p (ou seja, a+b+c=2p, onde a=BC, b=CA, c=AB).
  • Os ângulos \widehat{B}=\beta e \widehat{C}=\gamma são conhecidos.
O que se pede:
  • Construir geometricamente o triângulo ABC sabendo somente 2p, \beta e \gamma.
Informações relevantes extraídas:
  • O ângulo em A vale \displaystyle \alpha = 180^\circ-(\beta+\gamma).
  • Semiperímetro é p (metade do perímetro).
  • Pelo teorema dos senos (lei dos senos) os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos:
\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}.
Esta proporção será a chave para dividir o perímetro dado entre a,b,c.

Passo 2

Mostrar a relação entre os lados e o perímetro (motivo da construção).
Pela lei dos senos existe uma constante k tal que
a=k\sin\alpha,\qquad b=k\sin\beta,\qquad c=k\sin\gamma.
Como a+b+c=2p, somando obtemos
k(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)=2p.
Logo
k=\dfrac{2p}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}.
Portanto os comprimentos desejados são
a=\dfrac{2p\sin\alpha}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}, \qquad b=\dfrac{2p\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}, \qquad c=\dfrac{2p\sin\gamma}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}.
Essas fórmulas nos dizem exatamente quanto cortar do segmento de comprimento 2p para obter a,b,c. A construção reduzir-se-á a dividir geometricamente o segmento de comprimento 2p nas três partes proporcionais a \sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma.

Passo 3

Como construir geometricamente \sin\theta de um ângulo dado \theta (construção básica que vamos usar).
  1. Traçar um segmento qualquer OU e tomar um ponto O como centro. Com o compasso, traçar um círculo de raio r (pode-se escolher r conveniente, por exemplo r=1 unidade qualquer).
  2. Sobre o raio horizontal OX marcar o ângulo \theta a partir de OX. O ponto P onde a semi-reta de ângulo \theta corta o círculo tem coordenadas (r\cos\theta,\; r\sin\theta) relativas a O e ao eixo OX.
  3. Traçar a perpendicular de P até o eixo OX. O segmento vertical entre a projeção de P no eixo e P tem comprimento r\sin\theta.
  4. Com o compasso transferir esse segmento vertical para outra reta: assim obtém-se um segmento de comprimento proporcional a \sin\theta. Se escolheu r=1, obtém diretamente \sin\theta.
Observação: para a divisão proporcional só importa a proporção entre \sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma, portanto qualquer escolha de r funciona (usar r=1 é prático).

Passo 4

Construir os três segmentos proporcionais a \sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma numa mesma semirreta (passo prático).
  1. Escolher um ponto O e traçar uma semirreta Ox.
  2. Usando o procedimento do Passo 3 e compasso, construir sobre Ox três segmentos contíguos OX_1, X_1X_2, X_2X_3 tais que
OX_1=r\sin\alpha,\quad X_1X_2=r\sin\beta,\quad X_2X_3=r\sin\gamma
para alguma escala r (pode ser r=1). Isto se faz transferindo com compasso as alturas obtidas no passo anterior e colocando-as em sequência sobre Ox.
3. O comprimento total OX_3 vale r(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).

Passo 5

Dividir o segmento de comprimento 2p nas três partes proporcionais a \sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma (teorema de Tales / semelhança).
  1. Tomar o segmento DE com comprimento exatamente 2p (esse segmento representa o perímetro dado).
  2. A partir de D traçar uma semirreta formando um ângulo qualquer com DE. Sobre essa semirreta marcar os pontos D_1,D_2,D_3 de forma que DD_1: D_1D_2: D_2D_3 = \sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma. Isto faz-se usando os comprimentos construídos no Passo 4 (marca-se sequencialmente os três comprimentos escalares).
  3. Unir D_3 com E. Traçar linhas paralelas a D_3E passando por D_2 e D_1. Essas paralelas cortam o segmento DE em três pontos que dividem DE em três partes proporcionais a \sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma.
  4. Denotar essas partes por a',b',c' de modo que
a' : b' : c' = \sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma
e a'+b'+c'=2p. Pelo desenho a'=a,\; b'=b,\; c'=c conforme as fórmulas do Passo 2.
Comentário prático: a ordem dos segmentos no DE pode ser escolhida para ficar compatível com os lados a=BC,\; b=CA,\; c=AB que se pretende construir. Por exemplo colocar na ordem a,c,b se for conveniente para desenhar base BC e depois o vértice A.

Passo 6

Agora que temos os comprimentos a,b,c (obtidos cortando DE), construir geometricamente o triângulo com esses lados e os ângulos dados.
Método com construção de base BC:
  1. Traçar um segmento BC de comprimento a (copiar o pedaço correspondente de DE).
  2. No ponto B traçar a semi-reta formando com BC o ângulo interno \beta (construir \beta no sentido apropriado).
  3. No ponto C traçar a semi-reta formando com CB o ângulo interno \gamma.
  4. As duas semi-retas desenhadas em B e C se intersectarão num ponto A. Marcar esse ponto A. Então AB=c e AC=b automaticamente, devido às proporções impostas anteriormente — verificar com o compasso que AB e AC coincidem com os segmentos c e b construídos se desejar confirmação.
Observação: pode-se, em vez de traçar as semi-retas, usar círculos de centros B e C com raios c e b respectivamente; sua interseção dará A. Ambos os processos são equivalentes; usar as semi-retas é conveniente porque já se conhece os ângulos.

Passo 7

Verificações e nota prática:
  • Verificar que \displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^\circ (consistência).
  • Se, por motivo de desenho, as semi-retas não se cruzarem (caso degenerado), isso significa que os dados não geram um triângulo (mas, com perímetro positivo e ângulos internos válidos \beta,\gamma>0 com \beta+\gamma<180^\circ, não haverá degenerescência).
  • Em provas, em vez de construir explicitamente senos numéricos pode-se usar o procedimento de divisão proporcional (Passo 5) usando apenas construções geométricas para obter as parcelas de 2p.

Resposta

\alpha=180^\circ-(\beta+\gamma)
a=\dfrac{2p\sin\alpha}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma},\qquad b=\dfrac{2p\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma},\qquad c=\dfrac{2p\sin\gamma}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}
(Em seguida construir o segmento BC de comprimento a e traçar em B e C os ângulos \beta e \gamma; a interseção das semi-retas dá A.)

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