Construir o triângulo ABC conhecendo o perímetro 2 p e os ângulos
e
.
Passo 1
O enunciado dá:
- O perímetro do triângulo
é (ou seja, , onde , , ). - Os ângulos
e são conhecidos.
O que se pede:
- Construir geometricamente o triângulo
sabendo somente , e .
Informações relevantes extraídas:
- O ângulo em
vale . - Semiperímetro é
(metade do perímetro). - Pelo teorema dos senos (lei dos senos) os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos:
Esta proporção será a chave para dividir o perímetro dado entre
.
Passo 2
Mostrar a relação entre os lados e o perímetro (motivo da construção).
Pela lei dos senos existe uma constante tal que
Pela lei dos senos existe uma constante
Como
, somando obtemos
Logo
Portanto os comprimentos desejados são
Essas fórmulas nos dizem exatamente quanto cortar do segmento de comprimento
para obter
. A construção reduzir-se-á a dividir geometricamente o segmento de comprimento
nas três partes proporcionais a
.
Passo 3
Como construir geometricamente
de um ângulo dado
(construção básica que vamos usar).
- Traçar um segmento qualquer
e tomar um ponto como centro. Com o compasso, traçar um círculo de raio (pode-se escolher conveniente, por exemplo unidade qualquer). - Sobre o raio horizontal
marcar o ângulo a partir de . O ponto onde a semi-reta de ângulo corta o círculo tem coordenadas relativas a e ao eixo . - Traçar a perpendicular de
até o eixo . O segmento vertical entre a projeção de no eixo e tem comprimento . - Com o compasso transferir esse segmento vertical para outra reta: assim obtém-se um segmento de comprimento proporcional a
. Se escolheu , obtém diretamente .
Observação: para a divisão proporcional só importa a proporção entre
, portanto qualquer escolha de
funciona (usar
é prático).
Passo 4
Construir os três segmentos proporcionais a
numa mesma semirreta (passo prático).
- Escolher um ponto
e traçar uma semirreta . - Usando o procedimento do Passo 3 e compasso, construir sobre
três segmentos contíguos tais que
para alguma escala
(pode ser
). Isto se faz transferindo com compasso as alturas obtidas no passo anterior e colocando-as em sequência sobre
.
3. O comprimento total vale
.
3. O comprimento total
Passo 5
Dividir o segmento de comprimento
nas três partes proporcionais a
(teorema de Tales / semelhança).
- Tomar o segmento
com comprimento exatamente (esse segmento representa o perímetro dado). - A partir de
traçar uma semirreta formando um ângulo qualquer com . Sobre essa semirreta marcar os pontos de forma que . Isto faz-se usando os comprimentos construídos no Passo 4 (marca-se sequencialmente os três comprimentos escalares). - Unir
com . Traçar linhas paralelas a passando por e . Essas paralelas cortam o segmento em três pontos que dividem em três partes proporcionais a . - Denotar essas partes por
de modo que
e
. Pelo desenho
conforme as fórmulas do Passo 2.
Comentário prático: a ordem dos segmentos no
pode ser escolhida para ficar compatível com os lados
que se pretende construir. Por exemplo colocar na ordem
se for conveniente para desenhar base
e depois o vértice
.
Passo 6
Agora que temos os comprimentos
(obtidos cortando
), construir geometricamente o triângulo com esses lados e os ângulos dados.
Método com construção de base :
Método com construção de base
- Traçar um segmento
de comprimento (copiar o pedaço correspondente de ). - No ponto
traçar a semi-reta formando com o ângulo interno (construir no sentido apropriado). - No ponto
traçar a semi-reta formando com o ângulo interno . - As duas semi-retas desenhadas em
e se intersectarão num ponto . Marcar esse ponto . Então e automaticamente, devido às proporções impostas anteriormente — verificar com o compasso que e coincidem com os segmentos e construídos se desejar confirmação.
Observação: pode-se, em vez de traçar as semi-retas, usar círculos de centros
e
com raios
e
respectivamente; sua interseção dará
. Ambos os processos são equivalentes; usar as semi-retas é conveniente porque já se conhece os ângulos.
Passo 7
Verificações e nota prática:
- Verificar que
(consistência). - Se, por motivo de desenho, as semi-retas não se cruzarem (caso degenerado), isso significa que os dados não geram um triângulo (mas, com perímetro positivo e ângulos internos válidos
com , não haverá degenerescência). - Em provas, em vez de construir explicitamente senos numéricos pode-se usar o procedimento de divisão proporcional (Passo 5) usando apenas construções geométricas para obter as parcelas de
.
Resposta
(Em seguida construir o segmento
de comprimento
e traçar em
e
os ângulos
e
; a interseção das semi-retas dá
.)