Construir o triângulo ABC conhecendo o lado a e as alturas \mathrm{h}_{\mathrm{b}} \mathrm{e} \mathrm{h}_{\mathrm{c}}.

Passo 1

O enunciado pede: construir o triângulo ABC conhecendo o comprimento do lado a e as alturas h_{b} e h_{c}.
Informações dadas (claras e separadas):
  • O segmento BC tem comprimento \,a (ou seja, o lado oposto a A é a).
  • A altura proveniente do vértice B sobre o lado AC tem comprimento \,h_{b}.
  • A altura proveniente do vértice C sobre o lado AB tem comprimento \,h_{c}.
O que precisamos construir: a posição do ponto A (e, portanto, os lados AB e AC), de modo que as distâncias perpendiculares do ponto B até a reta AC e do ponto C até a reta AB sejam, respectivamente, \,h_{b} e \,h_{c}.

Passo 2

Ideia geométrica central (explicada devagar): seja H_b o pé da perpendicular de B sobre AC (logo BH_b=h_b) e seja H_c o pé da perpendicular de C sobre AB (logo CH_c=h_c). Pelo fato de BH_b ser perpendicular a AC e H_b estar sobre a reta AC, temos que o segmento BH_b é radial de um círculo de centro B e raio h_b, e a reta CH_b é tangente a esse círculo no ponto H_b (raio ao ponto de tangência é perpendicular à tangente). Analogamente, BH_c é tangente ao círculo de centro C e raio h_c no ponto H_c.
Um fato muito útil (Thales) diz: se um ponto H satisfaz \angle BHC=90^\circ, então H pertence à circunferência de diâmetro BC. No nosso caso, porque BH_b\perp CH_b e BH_c\perp CH_c, os pontos H_b e H_c pertencem à circunferência de diâmetro BC.
Portanto, cada ponto H_b é intersecção entre:
  • a circunferência de diâmetro BC (centro no ponto médio de BC), e
  • a circunferência de centro B e raio h_b.
E cada ponto H_c é intersecção entre:
  • a mesma circunferência de diâmetro BC, e
  • a circunferência de centro C e raio h_c.
Depois de obter H_b e H_c, as retas CH_b e BH_c são, respectivamente, as retas AC e AB. O vértice A é a interseção dessas duas retas:
A = (CH_b)\cap(BH_c).

Passo 3

Construção prática passo a passo (régua e compasso) — parte 1: posicionar a base
  1. Desenhe o segmento BC com comprimento \,a. Marque os pontos B e C.
  2. Construa o ponto médio M de BC (com régua e compasso: arcos com mesmo raio em B e C etc.).
  3. Desenhe a circunferência com centro M e raio \dfrac{a}{2}. Essa é a circunferência de diâmetro BC. (Todo ponto nela satisfaz \angle BHC=90^\circ.)

Passo 4

Construção prática passo a passo — parte 2: localizar H_b e H_c
  1. Desenhe a circunferência com centro B e raio h_{b}. Intersecte essa circunferência com a circunferência de diâmetro BC. As interseções (uma ou duas) são os possíveis pontos H_b.
    • Se não houver interseção, então não existe triângulo real com os dados (explico condição de existência no Passo 6).
  2. Desenhe a circunferência com centro C e raio h_{c}. Intersecte essa circunferência com a circunferência de diâmetro BC. As interseções (uma ou duas) são os possíveis pontos H_c.
    • Note: cada escolha de H_b e de H_c dará uma possível construção de A.
(Dica prática: normalmente cada uma dessas interseções vem em pares simétricos em relação ao eixo BC, fornecendo soluções acima e abaixo do segmento BC.)

Passo 5

Construção prática passo a passo — parte 3: construir as retas e o ponto A
  1. Para cada ponto H_b obtido, traçe a reta r_{b}=CH_b. Essa reta será a reta AC candidata (porque passa por C e pelo pé da perpendicular H_b de B).
  2. Para cada ponto H_c obtido, traçe a reta r_{c}=BH_c. Essa reta será a reta AB candidata.
  3. Para cada combinação de uma reta r_b com uma reta r_c, encontre a interseção:
A = r_{b}\cap r_{c}.
Esse ponto A é o vértice desejado. O triângulo ABC formado por esses pontos satisfaz, por construção, BH_b\perp AC com BH_b=h_b e CH_c\perp AB com CH_c=h_c.

Passo 6

Justificativa e condições de existência (por que isso funciona e quando não há solução)
  1. Por construção temos BH_b=h_b e BH_b\perp CH_b. Como H_b pertence à reta AC (pois C,H_b,A são colineares), BH_b é exatamente a altura do vértice B sobre AC. Idem para H_c. Assim as alturas ficam corretas.
  2. Quantas soluções podem existir? Em geral até quatro: a circunferência de diâmetro BC pode cortar a circunferência centrada em B em até dois pontos (duas escolhas para H_b), e pode cortar a circunferência centrada em C em até dois pontos (duas escolhas para H_c). Cada combinação de escolha de H_b e H_c dá um A distinto. Alguns casos podem dar menos soluções por coincidência geométrica ou por interseção degenerada.
  3. Condição de existência mínima: para que a circunferência de centro B e raio h_b intersecte a circunferência de diâmetro BC (centro M, raio a/2) é necessário e suficiente que
h_{b}\le a.
Analogamente, para H_c existir é necessário e suficiente que
h_{c}\le a.
Se qualquer uma dessas desigualdades falhar, não há triângulo real com os dados (interpretação: não é possível ter altura maior que a distância entre B e C nesse posicionamento).
4. Observação de compatibilidade: mesmo com h_b\le a e h_c\le a, algumas combinações podem levar a um ponto A muito distante (mas geometricamente válido). Em resumo: se as interseções existem, o procedimento dá o(s) triângulo(s) correto(s).

Passo 7

Verificação rápida (como checar na prova)
Depois de construir A:
  1. Meça (ou verifique geometricamente) a distância do ponto B à reta AC. Deve ser \,h_b.
  2. Meça a distância do ponto C à reta AB. Deve ser \,h_c.
    Se as duas verificações baterem, a construção está correta.

Passo 8

Casos especiais e dicas
  1. Se alguma das interseções com a circunferência de diâmetro BC for tangente (apenas um ponto), obtém-se soluções degeneradas onde H_b ou H_c coincide com o ponto de tangência; isso significa um caso limite (uma solução única por aquela escolha).
  2. Se quiser escolher a solução “acima” ou “abaixo” de BC, escolha a intersecção correspondente da circunferência de diâmetro BC (elas aparecem em pares simétricos).
  3. Se precisar justificar numericamente, pode colocar B=(0,0), C=(a,0) e repetir o raciocínio com coordenadas: as interseções mostram as mesmas equações que garantem BH_b=h_b e \angle B H_b C=90^\circ.

Resposta

Constrói-se BC com comprimento a; desenha-se a circunferência de diâmetro BC (centro M); intersectam-se essa circunferência com a circunferência de centro B e raio h_{b} para obter os pontos H_{b}; intersectam-se a circunferência de diâmetro BC com a circunferência de centro C e raio h_{c} para obter os pontos H_{c}; traçam-se as retas AC=CH_{b} e AB=BH_{c}; o vértice A é a interseção A=(CH_{b})\cap(BH_{c}). Cada combinação de escolhas de H_{b} e H_{c} fornece uma solução (até quatro). Condição de existência: h_{b}\le a e h_{c}\le a.

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