Construir o triângulo ABC conhecendo o lado a e as alturas
.
Passo 1
O enunciado pede: construir o triângulo
conhecendo o comprimento do lado
e as alturas
e
.
Informações dadas (claras e separadas):
Informações dadas (claras e separadas):
- O segmento
tem comprimento (ou seja, o lado oposto a é ). - A altura proveniente do vértice
sobre o lado tem comprimento . - A altura proveniente do vértice
sobre o lado tem comprimento .
O que precisamos construir: a posição do ponto
(e, portanto, os lados
e
), de modo que as distâncias perpendiculares do ponto
até a reta
e do ponto
até a reta
sejam, respectivamente,
e
.
Passo 2
Ideia geométrica central (explicada devagar): seja
o pé da perpendicular de
sobre
(logo
) e seja
o pé da perpendicular de
sobre
(logo
). Pelo fato de
ser perpendicular a
e
estar sobre a reta
, temos que o segmento
é radial de um círculo de centro
e raio
, e a reta
é tangente a esse círculo no ponto
(raio ao ponto de tangência é perpendicular à tangente). Analogamente,
é tangente ao círculo de centro
e raio
no ponto
.
Um fato muito útil (Thales) diz: se um ponto
satisfaz
, então
pertence à circunferência de diâmetro
. No nosso caso, porque
e
, os pontos
e
pertencem à circunferência de diâmetro
.
Portanto, cada ponto
é intersecção entre:
- a circunferência de diâmetro
(centro no ponto médio de ), e - a circunferência de centro
e raio .
E cada ponto
é intersecção entre:
- a mesma circunferência de diâmetro
, e - a circunferência de centro
e raio .
Depois de obter
e
, as retas
e
são, respectivamente, as retas
e
. O vértice
é a interseção dessas duas retas:
Passo 3
Construção prática passo a passo (régua e compasso) — parte 1: posicionar a base
- Desenhe o segmento
com comprimento . Marque os pontos e . - Construa o ponto médio
de (com régua e compasso: arcos com mesmo raio em e etc.). - Desenhe a circunferência com centro
e raio . Essa é a circunferência de diâmetro . (Todo ponto nela satisfaz .)
Passo 4
Construção prática passo a passo — parte 2: localizar
e
- Desenhe a circunferência com centro
e raio . Intersecte essa circunferência com a circunferência de diâmetro . As interseções (uma ou duas) são os possíveis pontos . - Se não houver interseção, então não existe triângulo real com os dados (explico condição de existência no Passo 6).
- Desenhe a circunferência com centro
e raio . Intersecte essa circunferência com a circunferência de diâmetro . As interseções (uma ou duas) são os possíveis pontos . - Note: cada escolha de
e de dará uma possível construção de .
- Note: cada escolha de
(Dica prática: normalmente cada uma dessas interseções vem em pares simétricos em relação ao eixo
, fornecendo soluções acima e abaixo do segmento
.)
Passo 5
Construção prática passo a passo — parte 3: construir as retas e o ponto
- Para cada ponto
obtido, traçe a reta . Essa reta será a reta candidata (porque passa por e pelo pé da perpendicular de ). - Para cada ponto
obtido, traçe a reta . Essa reta será a reta candidata. - Para cada combinação de uma reta
com uma reta , encontre a interseção:
Esse ponto
é o vértice desejado. O triângulo
formado por esses pontos satisfaz, por construção,
com
e
com
.
Passo 6
Justificativa e condições de existência (por que isso funciona e quando não há solução)
- Por construção temos
e . Como pertence à reta (pois são colineares), é exatamente a altura do vértice sobre . Idem para . Assim as alturas ficam corretas. - Quantas soluções podem existir? Em geral até quatro: a circunferência de diâmetro
pode cortar a circunferência centrada em em até dois pontos (duas escolhas para ), e pode cortar a circunferência centrada em em até dois pontos (duas escolhas para ). Cada combinação de escolha de e dá um distinto. Alguns casos podem dar menos soluções por coincidência geométrica ou por interseção degenerada. - Condição de existência mínima: para que a circunferência de centro
e raio intersecte a circunferência de diâmetro (centro , raio ) é necessário e suficiente que
Analogamente, para
existir é necessário e suficiente que
Se qualquer uma dessas desigualdades falhar, não há triângulo real com os dados (interpretação: não é possível ter altura maior que a distância entre
e
nesse posicionamento).
4. Observação de compatibilidade: mesmo com e
, algumas combinações podem levar a um ponto
muito distante (mas geometricamente válido). Em resumo: se as interseções existem, o procedimento dá o(s) triângulo(s) correto(s).
4. Observação de compatibilidade: mesmo com
Passo 7
Verificação rápida (como checar na prova)
Depois de construir :
Depois de construir
- Meça (ou verifique geometricamente) a distância do ponto
à reta . Deve ser . - Meça a distância do ponto
à reta . Deve ser .
Se as duas verificações baterem, a construção está correta.
Passo 8
Casos especiais e dicas
- Se alguma das interseções com a circunferência de diâmetro
for tangente (apenas um ponto), obtém-se soluções degeneradas onde ou coincide com o ponto de tangência; isso significa um caso limite (uma solução única por aquela escolha). - Se quiser escolher a solução “acima” ou “abaixo” de
, escolha a intersecção correspondente da circunferência de diâmetro (elas aparecem em pares simétricos). - Se precisar justificar numericamente, pode colocar
, e repetir o raciocínio com coordenadas: as interseções mostram as mesmas equações que garantem e .
Resposta
Constrói-se
com comprimento
; desenha-se a circunferência de diâmetro
(centro
); intersectam-se essa circunferência com a circunferência de centro
e raio
para obter os pontos
; intersectam-se a circunferência de diâmetro
com a circunferência de centro
e raio
para obter os pontos
; traçam-se as retas
e
; o vértice
é a interseção
. Cada combinação de escolhas de
e
fornece uma solução (até quatro). Condição de existência:
e
.