Construir o triângulo A B C conhecendo o lado a, o ângulo \widehat{A} e a soma \mathrm{s}=\mathrm{b}+\mathrm{c} dos outros dois lados.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Dados:
    • o lado a (ou seja, \overline{BC}=a);
    • o ângulo \widehat{A}=\alpha (ou seja, o ângulo no vértice A);
    • a soma dos outros dois lados \mathrm{s}=b+c, onde b=\overline{AC} e c=\overline{AB}.
  • Pedido: construir o triângulo ABC com essas condições (isto é, desenhar o triângulo usando régua e compasso ou, na prática, indicar os comprimentos e a construção geométrica correspondente).
Informações relevantes que temos:
  • a é o lado oposto ao vértice A.
  • b e c são as distâncias de A aos pontos C e B, respectivamente.
  • Só sabemos s=b+c, não sabemos b e c separadamente — a construção precisa deduzir b e c a partir de a, \alpha e s, ou mostrar uma construção equivalente que produza o triângulo.

Passo 2

Ideia básica e relação trigonométrica que vamos usar: Lei dos cossenos.
  • A Lei dos cossenos é a generalização do teorema de Pitágoras para triângulos quaisquer. Para o lado a oposto ao ângulo \widehat{A}=\alpha vale:
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha.
Aqui b=\overline{AC}, c=\overline{AB} e \alpha=\widehat{A}. Vou explicar cada termo: b^{2}+c^{2} é a soma dos quadrados dos dois lados que formam o ângulo em A; o termo -2bc\cos\alpha corrige essa soma quando o ângulo não é reto.

Passo 3

Expressar b^{2}+c^{2} em termos de s=b+c e do produto bc.
  • Temos
b^{2}+c^{2}=(b+c)^{2}-2bc=s^{2}-2bc.
Substituo isso na Lei dos cossenos:
a^{2}=(s^{2}-2bc)-2bc\cos\alpha = s^{2}-2bc(1+\cos\alpha).
Agora isolo o produto bc:
2bc(1+\cos\alpha)=s^{2}-a^{2},
logo
bc=\frac{s^{2}-a^{2}}{2(1+\cos\alpha)}.
Comentário didático: com isso conseguimos o produto bc em função apenas de a, s e \alpha. Ter a soma s e o produto bc é suficiente para determinar b e c como raízes de uma equação quadrática (próximo passo).

Passo 4

Simplificação trigonométrica útil (identidade) e observação de existência.
  • Observação: 1+\cos\alpha=2\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}. Assim podemos também escrever
bc=\frac{s^{2}-a^{2}}{4\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}}.
Isto pode facilitar cálculos ou construções porque aparece \cos(\alpha/2).
  • Condição de existência: para que existam b e c reais positivos, deve ocorrer uma condição que vamos explicitar ao resolver a quadrática. Se essa condição falhar, não existe triângulo com os dados fornecidos.

Passo 5

Determinar b e c como raízes de uma quadrática — derivação e fórmula explícita.
  • b e c são as raízes da equação (variável t)
t^{2}-s\,t+bc=0,
pois soma das raízes é s e produto é bc.
  • Resolvo por completar o quadrado (ou fórmula quadrática). Colocando p=bc:
t^{2}-s t + p = 0 \quad\Longrightarrow\quad \left(t-\frac{s}{2}\right)^{2}=\frac{s^{2}}{4}-p.
Assim as raízes são
t=\frac{s}{2}\pm\sqrt{\frac{s^{2}}{4}-p}.
Substituindo p=bc=\dfrac{s^{2}-a^{2}}{2(1+\cos\alpha)}, obtemos
\boxed{\,b,\;c=\frac{s}{2}\pm\sqrt{\frac{s^{2}}{4}-\frac{s^{2}-a^{2}}{2(1+\cos\alpha)} }\, }.
  • Interpretação: escolhe-se a opção com mais signo positivo para obter a medida maior e a com menos sinal para a menor; as duas soluções trocam b e c (ou seja, trocando os nomes de B e C obtemos a outra solução).

Passo 6

Condição prática de existência e verificação numérica (o que checar antes de construir).
  • Para as raízes serem reais e positivas é necessário que o discriminante seja não negativo:
\Delta:=\frac{s^{2}}{4}-\frac{s^{2}-a^{2}}{2(1+\cos\alpha)}\ge 0.
Se \Delta<0 não existe triângulo com esses dados. Além disso, depois de obter b e c pela fórmula, verifique b>0 e c>0 e que b+c=s (checagem aritmética).
  • Dica prática: escrevendo em termos de \cos(\alpha/2) pode ficar mais claro:
\Delta=\frac{s^{2}}{4}-\frac{s^{2}-a^{2}}{4\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}} =\frac{1}{4}\left(s^{2}-\frac{s^{2}-a^{2}}{\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}}\right).
A não negatividade disto é a condição concreta.

Passo 7

Como construir, passo a passo prático (régua e compasso / procedimento geométrico).
Vou assumir que já calculaste numericamante (ou constróis geometricamente) os comprimentos b e c pelas fórmulas do Passo 5. Aqui explico uma sequência prática completa:
  1. Calcule (ou construa geometricamente) o valor de p=bc=\dfrac{s^{2}-a^{2}}{2(1+\cos\alpha)}. (Para fazer esse cálculo geometricamente, usa semelhança de triângulos para multiplicações/divisões e constrói \cos\alpha a partir de um triângulo retângulo com ângulo \alpha. Se preferires, faz os cálculos numericamente e depois transporta os comprimentos para a régua.)
  2. Calcule (ou construa) \Delta=\dfrac{s^{2}}{4}-p. Verifica \Delta\ge 0.
  3. Constrói \sqrt{\Delta} (geometricamente usando a construção da média geométrica ou mais simplesmente pela construção de uma hipotenusa com comprimento apropriado; é uma construção padrão com régua e compasso).
  4. Obtém os comprimentos
b=\frac{s}{2}+\sqrt{\Delta},\qquad c=\frac{s}{2}-\sqrt{\Delta}.
  1. Agora a construção do triângulo: escolhe um ponto A qualquer no plano. Em A desenha duas semirretas que formam o ângulo \widehat{A}=\alpha.
  2. Sobre uma das semirretas marca o ponto B tal que \overline{AB}=c. Sobre a outra semirreta marca o ponto C tal que \overline{AC}=b.
  3. Traça a reta \overline{BC}. O segmento \overline{BC} terá exatamente comprimento a, porque escolhemos b e c satisfazendo a Lei dos cossenos. Assim obténs o triângulo ABC desejado.
  • Observação prática: existe simetria entre b e c; se na marcação trocar as semirretas (colocar b na semirreta onde pusemos c e vice-versa) obtém-se a outra solução (triângulo espelhado trocando B e C).

Passo 8

Pequena explicação de por que marcar AB=c e AC=b em A funciona.
  • Se em A construímos um ângulo \alpha e sobre suas semirretas marcamos AB=c e AC=b, então pelo procedimento de construção a distância entre B e C deve satisfazer a Lei dos cossenos:
BC^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha.
Como escolhemos b e c de modo que essa quantidade seja exatamente a^{2}, a distância calculada entre B e C será a. É por isso que a construção é correta: partimos de a,\alpha,s, deduzimos b e c que forçam BC=a, e em seguida construímos A,B,C propriamente.

Resposta

b,c=\dfrac{s}{2}\pm\sqrt{\dfrac{s^{2}}{4}-\dfrac{s^{2}-a^{2}}{2(1+\cos\alpha)}}, onde \alpha=\widehat{A}.
Construir o triângulo traçando em A o ângulo \widehat{A}=\alpha e marcando nas semirretas os comprimentos \overline{AB}=c e \overline{AC}=b obtidos; ligar B e C para formar ABC.

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