Construir o triângulo A B C conhecendo o lado a, a soma s=b+c dos outros dois lados e a altura h_{b}.

Passo 1

O que o problema dá e o que pede, com clareza (peguei os dados do enunciado).
  • Dados:
    • o segmento \overline{BC} tem comprimento \,a; (ou seja \,BC=a);
    • a soma dos outros dois lados é \,s=b+c; (ou seja \,AB+AC=s);
    • a altura relativa a b é \,h_b; (altura de B sobre a reta AC): isto significa que a distância do ponto B até a reta AC é \,h_b.
  • Pede:
    • construir o triângulo ABC (ou todos os triângulos possíveis) sabendo \,a, \,s e \,h_b.
Observações imediatas (só identificação; sem resolver ainda):
  • O lado fixo é \overline{BC} de comprimento \,a.
  • A reta AC deve passar por C e estar a distância \,h_b do ponto B. Logo existem, em princípio, duas retas possíveis através de C que ficam a distância h_b de B (uma acima e outra abaixo).
  • Para cada uma dessas retas AC precisamos encontrar o ponto A dessa reta tal que \,AB+AC=s.

Passo 2

Geometria útil e ideia do método (a peça-chave que simplifica tudo).
  • Como achar a reta AC (duas opções): a reta AC deve passar por C e sua distância ao ponto B deve ser h_b. Geometricamente, isso significa que a reta AC é tangente à circunferência de centro B e raio h_b. Portanto, constrói-se a circunferência de centro B e raio h_b e traçam-se as tangentes a essa circunferência que passam por C; essas tangentes (no máximo duas) são as candidatas para AC.
  • Para um desses candidatos (uma reta fixa l passando por C), precisamos achar o ponto A sobre l tal que AB+AC=s. Vamos parametrizar A sobre l de forma que isso vire uma fórmula simples e construtiva.
  • Notação para a parametrização: tome a reta l (uma das tangentes). Seja d o vetor unitário dirigido ao longo de l (escolha uma orientação). Escrevemos
    A = C + t\,d,
    onde t é a distância orientada ao longo de l a partir de C até A (para construção vamos usar t\ge0 quando A estiver no semieixo de l que escolhemos). Então AC=|t|=t (assumindo t\ge0) e
    AB = |A-B| = \sqrt{|C+t d - B|^2}.
    A equação que nos interessa é
    AB + AC = s \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{|C+t d - B|^2} + t = s.

Passo 3

Álgebra que elimina a raiz (a conta que dá uma fórmula simples para t).
  • Coloque B na origem e C nas coordenadas (a,0) (isto é só para computar; geometricamente é equivalente). Seja k o produto escalar k = C\cdot d. Observando que |C|=a e que d é unitário, tem-se |C+t d|^2 = a^2 + t^2 + 2kt. Logo a equação fica
    \sqrt{a^2 + t^2 + 2kt} + t = s.
    Elevando ao quadrado (e vendo que o termo t^2 se cancela), obtemos uma equação linear em t:
    a^2 + t^2 + 2kt = s^2 - 2 s t + t^2 \quad\Longrightarrow\quad 2t(k+s)=s^2-a^2.
    Portanto
    \boxed{\,t=\dfrac{s^2-a^2}{2(s+k)}\,.}
  • Interpretação geométrica de k: k é a projeção do vetor \overrightarrow{OC}=(a,0) sobre a direção d. Geometricamente, se H é o pé da perpendicular de B sobre l (ou seja, o ponto de tangência da reta l com a circunferência de centro B e raio h_b), então
    k = CH,
    com sinal conforme a orientação escolhida de d. Em comprimento positivo, k=CH=\sqrt{a^2-h_b^2} (isto vem do triângulo retângulo BCH: BC=a, BH=h_b, logo CH=\sqrt{a^2-h_b^2}). Assim podemos tomar
    k=\pm\sqrt{a^2-h_b^2},
    o sinal depende de qual das duas tangentes escolhemos e da orientação de d. Na prática construtiva usaremos o comprimento CH=\sqrt{a^2-h_b^2}.

Passo 4

Interpretação do resultado e número de soluções.
  • Para cada uma das tangentes l que passa por C e é a h_b-distante de B (no máximo duas), definimos k=CH=\sqrt{a^2-h_b^2} (medido sobre essa reta, sempre positivo como comprimento). Então a fórmula
    t=\dfrac{s^2-a^2}{2(s\pm k)}
    fornece a(s) posição(ões) de A sobre l (o sinal \pm corresponde às duas orientações possíveis da direção d ao longo de l; uma das escolhas dará t positivo no semieixo desejado). Cada combinação (uma das duas tangentes) × (um dos sinais que produza t>0) dá, no máximo, um ponto A. Logo no máximo teremos duas soluções geométricas (às vezes uma, às vezes nenhuma, dependendo dos comprimentos).
  • Observação prática de existência: é preciso que s> \,|a| e que as quantidades envolvidas permitam t\ge0. Se o valor de t sair negativo para ambas as orientações ou if a tangente não existir (isto é, h_b>a), então não há construção possível.

Passo 5

Construção passo a passo com régua e compasso (instruções práticas que podes fazer na prova).
  1. Desenha o segmento \overline{BC} de comprimento \,a.
  2. Desenha a circunferência de centro B e raio \,h_b.
  3. A partir do ponto C, traça as tangentes à circunferência do passo anterior. (Se \,BC<h_b não há tangente: então não existe solução.) As tangentes tocam a circunferência em pontos H_1 e H_2. Cada tangente define uma reta candidata l_1 e l_2 que são as possíveis retas AC.
  4. Para uma das retas l (escolhe l_1 primeiro): mede/constrói o segmento CH (que é a distância do ponto C até o ponto de tangência H). Observa que CH=\sqrt{a^2-h_b^2}.Guarda esse comprimento (vai ser o valor k\ge0).
  5. Calcula geometricamente o número t=\dfrac{s^2-a^2}{2(s+k)}.Como construir t com régua e compasso (método prático por semelhança):
    • constrói segmentos de comprimentos s+a e s-a (fazendo a soma e a diferença de segmentos já dados);
    • constrói o produto (s+a)(s-a)=s^2-a^2 usando similaridade (por exemplo: com um segmento de unidade u e triângulos semelhantes obtém-se produto — se preferires, usa a identidade s^2-a^2=(s-a)(s+a) e a construção do produto por semelhança);
    • constrói o denominador 2(s+k) somando segmentos;
    • finalmente divide o segmento s^2-a^2 pelo segmento 2(s+k) por semelhança (construção clássica de divisão de segmentos).
      (Se na tua prova for permitido aceitar “construa por semelhança” sem detalhar cada passo de produto/divisão, basta referir que se usa o teorema de Tales / semelhança para multiplicar e dividir segmentos.)
  6. Sobre a reta l a partir do ponto C marca o ponto A tal que AC=t na direção adequada (escolhe a orientação de l que dá t>0). Este ponto A é o vértice buscado. Verifica rapidamente medindo que AB+AC=s (por construção isso ocorrerá).
  7. Repetir para a outra tangente l_2: calcula k=CH_2 e t por fórmula; se t>0 constrói o ponto correspondente A. Assim obténs a outra possível solução (se existir).

Passo 6

Justificação e checagem rápida (por que a fórmula está certa e por que este A resolve os dados).
  • Relembrando: com A=C+t d e k=C\cdot d a conta mostrou que a condição AB+AC=s se reduz a
    2t(s+k)=s^2-a^2,
    o que dá t como acima. A construção da reta l por tangente garantia que a distância de B à reta l é h_b. Assim o vértice A construído satisfaz as três condições: BC=a (fixo), AB+AC=s (pela fórmula) e distância de B até AC igual a h_b (porque AC é tangente à circunferência de raio h_b centrada em B).
  • Número de soluções: até duas (uma por cada tangente). Pode ocorrer que apenas uma das tangentes dê t>0 válido, ou que nenhuma dê (então não existe triângulo com os dados). Também pode acontecer caso degenerado em que t=0 (A coincide com C), mas nesse caso a soma AB+AC não seria plausível exceto em situações degeneradas de dados.

Resposta

Sobre cada uma das retas tangentes a \mathcal C(B,h_b) que passam por C (no máximo duas), seja H o ponto de tangência e k=CH=\sqrt{a^2-h_b^2}. O ponto A sobre essa reta é dado por
t=AC=\dfrac{s^2-a^2}{2\bigl(s\pm k\bigr)},
onde o sinal \pm corresponde à escolha da orientação sobre a reta; constrói-se A marcando sobre a reta, a partir de C, o segmento de comprimento t. Cada escolha válida produz um triângulo ABC que satisfaz BC=a, AB+AC=s e h_b.

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