(a) Construir um triângulo A B C conhecendo m(\overline{A B})=5 \mathrm{~cm}, m(\overline{B C})=6 \mathrm{~cm} e m(\overline{C A})=4 \mathrm{~cm}.
(b) Traçar as mediatrizes correspondentes a dois dos lados do triângulo e denomine O o ponto de intersecção das duas mediatrizes. Demonstrar que O pertence à mediatriz do terceiro lado do triângulo.
(c) Traçar a circunferência circunscrita ao triângulo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Dados fornecidos:
\,m(\overline{AB})=5\,\text{cm}, \,m(\overline{BC})=6\,\text{cm} e \,m(\overline{CA})=4\,\text{cm}.
Perguntas:
(a) Construir um triângulo ABC cujos lados tenham exatamente esses comprimentos.
(b) Traçar as mediatrizes de dois lados quaisquer do triângulo, chamar O o ponto de intersecção dessas duas mediatrizes e demonstrar que O também pertence à mediatriz do terceiro lado.
(c) Traçar a circunferência circunscrita ao triângulo (a circunferência que passa por A, B e C).

Passo 2

Verificação de existência (condição necessária): para que exista um triângulo com lados dados os comprimentos devem satisfazer a desigualdade triangular. Verifico numericamente:
\,4+5=9>6, \,4+6=10>5 e \,5+6=11>4.
Como todas as três somas dos dois menores lados são maiores que o terceiro, um triângulo com esses lados existe. Isso garante que na construção com compasso as duas circunferências que vou usar se intersectam em pontos reais.

Passo 3

Construção prática do triângulo (passo a passo com régua e compasso):
  1. Desenhe um segmento reto e marque dois pontos A e B sobre ele de modo que \,m(\overline{AB})=5\,\text{cm}. Use a régua para medir exatamente 5\,\text{cm}.
  2. Com o compasso centrado em A abra-o até a medida 4\,\text{cm} (isto é \,m(\overline{AC})) e desenhe uma circunferência centrada em A.
  3. Com o compasso centrado em B abra-o até a medida 6\,\text{cm} (isto é \,m(\overline{BC})) e desenhe uma circunferência centrada em B.
  4. As duas circunferências cortam-se em dois pontos simétricos em relação à reta AB. Escolha um desses pontos e chame-o de C. Os pontos de interseção existem porque verificamos a desigualdade triangular no passo anterior.
  5. Una C a A e B com segmentos retos. Assim obtém-se o triângulo ABC com os comprimentos desejados: \,AB=5\,\text{cm}, \,BC=6\,\text{cm}, \,CA=4\,\text{cm}.
Observação prática: a escolha entre as duas interseções corresponde a escolher a “versão” do triângulo acima ou abaixo da reta AB; ambas são congruentes entre si.

Passo 4

Como traçar uma mediatriz (explicação didática e construção):
Definição útil (explicada): a mediatriz de um segmento é a linha reta que passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a ele. Outra propriedade fundamental (que usaremos): qualquer ponto da mediatriz é equidistante dos extremos do segmento.
Construção com compasso (para um segmento genérico \overline{XY}):
  1. Com o compasso aberto com abertura maior que metade de \,m(\overline{XY}), desenhe dois arcos, um centrado em X e outro centrado em Y; esses arcos devem intersectar-se em dois pontos.
  2. Una esses dois pontos de interseção dos arcos por uma reta. Essa reta é a mediatriz de \overline{XY}: ela corta \overline{XY} no seu ponto médio e forma ângulo reto com \overline{XY}.
    Justificativa curta: os pontos de interseção dos arcos são equidistantes de X e Y (porque foram traçados com mesmas aberturas), então a reta que os une é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de X e Y; esse lugar é exatamente a mediatriz.

Passo 5

Traçar duas mediatrizes no triângulo e definir O:
  1. Aplique o procedimento do passo anterior à aresta \overline{AB} e trace a mediatriz de \overline{AB}.
  2. Aplique o mesmo procedimento à aresta \overline{BC} e trace a mediatriz de \overline{BC}.
  3. Denome O o ponto de intersecção dessas duas mediatrizes (se as mediatrizes forem traçadas corretamente, elas se cruzam em um único ponto).
Explicação intuitiva: cada mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos do segmento correspondente; portanto os dois lugares têm um ponto em comum que é equidistante de A, B e C.

Passo 6

Demonstração rigorosa de que O pertence à mediatriz do terceiro lado ( \overline{CA}):
  1. Como O está sobre a mediatriz de \overline{AB}, por definição de mediatriz temos
    \,OA=OB.
  2. Como O está sobre a mediatriz de \overline{BC}, temos
    \,OB=OC.
  3. Das duas igualdades anteriores segue, por transitividade,
    \,OA=OB=OC.
  4. Em particular \,OA=OC, isto é, O é equidistante de A e C.
  5. Pelo caráter definidor da mediatriz (o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e C), todo ponto que satisfaz \,OA=OC pertence à mediatriz de \overline{AC}. Portanto O pertence à mediatriz de \overline{AC}.
    Conclusão lógica: a interseção de duas mediatrizes é automaticamente ponto da mediatriz do terceiro lado — as três mediatrizes concorrem num mesmo ponto.
Comentário didático: essa propriedade mostra por que existe um único ponto (o circuncentro) equidistante dos três vértices de um triângulo.

Passo 7

Construção da circunferência circunscrita e justificativa:
  1. Com o compasso, coloque a ponta seca em O (o centro encontrado) e abra-o até tocar um dos vértices, por exemplo em A. A distância escolhida é OA. Como provado no passo anterior, OA=OB=OC, então essa abertura é a mesma para B e C.
  2. Com o compasso nessa abertura e centrado em O, desenhe a circunferência. Esta circunferência passa por A, B e C porque a distância do centro O a cada um dos vértices é igual ao raio escolhido.
    Justificativa: por construção e pela igualdade de distâncias obtida anteriormente, a circunferência de centro O e raio OA contém os três vértices, logo é a circunferência circunscrita ao triângulo.

Resposta

(a) Triângulo ABC construído com \,m(\overline{AB})=5\,\text{cm}, \,m(\overline{BC})=6\,\text{cm} e \,m(\overline{CA})=4\,\text{cm}.
(b) O ponto O, interseção das mediatrizes de dois lados, pertence também à mediatriz do terceiro lado (porque OA=OB e OB=OC implicam OA=OC).
(c) A circunferência circunscrita é a circunferência de centro O e raio OA (igual a OB e OC), que passa por A, B e C.

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