Considerando o Vetor A. \vec{A}=x^{2} z \hat{i}-2 y^{3} z^{2} \hat{j}+x y^{2} z \hat{k}, achar \nabla \cdot \vec{A} ou (div \vec{A} ) no ponto:
(0,-1,3).

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\vec{A}=x^{2} z \,\hat{i}-2 y^{3} z^{2} \,\hat{j}+x y^{2} z \,\hat{k}
e pede para achar \nabla\cdot\vec{A} (divergência de \vec{A}) no ponto (0,-1,3). As informações relevantes estão explícitas: as componentes de \vec{A} e o ponto (x,y,z)=(0,-1,3). Não vamos resolver nada ainda, só anotamos o que foi pedido.

Passo 2

O que é divergência e como se calcula: se \vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}, então
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.
Aqui \frac{\partial}{\partial x} é a derivada parcial em relação a x: diferenciamos em x tratando y e z como constantes. Mesma ideia para as derivadas parciais em y e em z.

Passo 3

Identificamos as componentes do campo \vec{A}:
A_x = x^{2} z,\qquad A_y = -2 y^{3} z^{2},\qquad A_z = x y^{2} z.
Agora vamos calcular cada derivada parcial necessária.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial A_x}{\partial x}. Tratando z como constante, usamos a regra da potência: a derivada de x^{2} é 2x. Assim
\frac{\partial A_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} z\big)=2x z.
Explicação curta: z é constante então sai como fator, restando \frac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial A_y}{\partial y}. Aqui z é tratado como constante; a expressão é produto de -2 z^{2} (constante em y) por y^{3}. A derivada de y^{3} é 3y^{2}. Logo
\frac{\partial A_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-2 y^{3} z^{2}\big)=-2 z^{2}\cdot 3y^{2}=-6 y^{2} z^{2}.
Detalhe: multiplicamos -2 por 3 e preservamos z^{2} porque é constante.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial A_z}{\partial z}. Agora x e y são tratados como constantes; a expressão é x y^{2} z. A derivada de z em relação a z é 1, então
\frac{\partial A_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x y^{2} z\big)=x y^{2}.
Explicação: x y^{2} é fator constante quando derivamos em z.

Passo 7

Somamos as três derivadas parciais para obter a divergência geral:
\nabla\cdot\vec{A}=2x z - 6 y^{2} z^{2} + x y^{2}.
Agora avaliamos no ponto (0,-1,3). Substituímos x=0, y=-1, z=3:
2x z = 2\cdot 0\cdot 3 = 0,
-6 y^{2} z^{2} = -6\cdot(-1)^{2}\cdot 3^{2} = -6\cdot 1\cdot 9 = -54,
x y^{2} = 0\cdot(-1)^{2} = 0.
Somando os termos: 0 + (-54) + 0 = -54. Força: deu negativo, mas está certo — veio do termo com z^{2}.

Resposta

-54

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