Considerando o Vetor A. \vec{A}=x^{2} z \hat{i}-2 y^{3} z^{2} \hat{j}+x y^{2} z \hat{k}, achar \nabla \cdot \vec{A} ou (div \vec{A} ) no ponto:
(3,-2,1).

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\vec{A}=x^{2} z\,\hat{i}-2 y^{3} z^{2}\,\hat{j}+x y^{2} z\,\hat{k}
e pede o valor de \nabla\cdot\vec{A} (div \vec{A}) no ponto (3,-2,1).
Informações relevantes:
\text{Ponto: }(x,y,z)=(3,-2,1).
\vec{A}=\big(A_x,A_y,A_z\big)
com A_x=x^{2}z, A_y=-2y^{3}z^{2} e A_z=xy^{2}z.

Passo 2

Definição que vamos usar: a divergência de um campo vetorial \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) é
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.
Explicação curta sobre derivadas parciais: ao calcular \frac{\partial}{\partial x} tratamos y e z como constantes; ao calcular \frac{\partial}{\partial y} tratamos x e z como constantes; e ao calcular \frac{\partial}{\partial z} tratamos x e y como constantes.

Passo 3

Identificamos os componentes do vetor (já listados, mas reescrevendo para clareza):
A_x = x^{2}z,\qquad A_y = -2y^{3}z^{2},\qquad A_z = xy^{2}z.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial A_x}{\partial x}.
Como A_x=x^{2}z e z é constante em relação a x, usamos a regra da potência:
\frac{\partial A_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}z\big)=z\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=z\cdot 2x=2xz.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial A_y}{\partial y}.
Como A_y=-2y^{3}z^{2} e z^{2} é constante em relação a y,
\frac{\partial A_y}{\partial y}=-2z^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y^{3})=-2z^{2}\cdot 3y^{2}=-6y^{2}z^{2}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial A_z}{\partial z}.
Como A_z=xy^{2}z e x e y são constantes em relação a z,
\frac{\partial A_z}{\partial z}=xy^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(z)=xy^{2}\cdot 1=xy^{2}.

Passo 7

Somando as três derivadas parciais obtemos a expressão da divergência:
\nabla\cdot\vec{A}=2xz-6y^{2}z^{2}+xy^{2}.

Passo 8

Agora avaliamos essa expressão no ponto (3,-2,1).
Calcule cada termo:
2xz=2\cdot 3\cdot 1=6,
-6y^{2}z^{2}=-6\cdot(-2)^{2}\cdot 1^{2}=-6\cdot 4\cdot 1=-24,
xy^{2}=3\cdot(-2)^{2}=3\cdot 4=12.

Passo 9

Somando os valores:
\nabla\cdot\vec{A}\big|_{(3,-2,1)}=6+(-24)+12=6-24+12=-6.

Resposta

-6

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