Corolário 2.26. (Desigualdade de Bessel) Seja \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} um conjunto ortogonal de vetores não nulos de um espaço com produto interno V. Se w é qualquer vetor de V, então
O enunciado dá um conjunto ortogonal de vetores não nulos \{v_{1},\ldots,v_{n}\} em um espaço com produto interno V e pede para mostrar que, para qualquer vetor w\in V,
Informações relevantes: cada v_k é não nulo, os vetores v_k são mutuamente ortogonais (isto é, \langle v_i,v_j\rangle=0 para i\neq j), e w é qualquer vetor de V. O objetivo é provar a desigualdade acima.
Passo 2
Vou definir coeficientes escalares que aparecem naturalmente na projeção de w sobre cada v_k. Para cada k defino
Explicação didática: \langle w,v_k\rangle mede a componente de w na direção de v_k; dividir por \langle v_k,v_k\rangle normaliza essa medida ao comprimento de v_k. Se o espaço for complexo, \langle \cdot,\cdot\rangle é conjugado linear na primeira entrada e linear na segunda (ou vice-versa, dependendo da convenção); aqui usamos a propriedade de linearidade necessária nas contas seguintes.
Interpretação: u é a combinação linear dos v_k com coeficientes escolhidos para captar as componentes de w nas direções dos v_k. Intuitivamente, u é a projeção de w sobre o subespaço gerado por \{v_1,\dots,v_n\}.
Passo 4
Vou mostrar que w-u é ortogonal a cada v_j. Calculo, usando linearidade do produto interno:
Portanto \langle w-u, v_j\rangle=0 para todo j, isto é, w-u é ortogonal a cada v_j, e assim ortogonal ao subespaço gerado pelos v_k.
Passo 5
Uso o teorema de Pitágoras no espaço com produto interno: se dois vetores x,y são ortogonais, então |x+y|^2=|x|^2+|y|^2. Prova rápida do teorema de Pitágoras: |x+y|^2=\langle x+y,x+y\rangle=|x|^2+|y|^2+ \langle x,y\rangle + \overline{\langle x,y\rangle}=|x|^2+|y|^2+2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle. Se \langle x,y\rangle=0 então o termo misto some e ficamos com a soma dos quadrados das normas.
Aplicando com x=w-u e y=u, e lembrando que w-u é ortogonal a cada v_k e portanto a u (pois u está no span dos v_k), obtemos
|w|^2 = |(w-u)+u|^2 = |w-u|^2 + |u|^2.
Passo 6
Da igualdade anterior segue imediatamente que
|w|^2 \ge |u|^2,
pois |w-u|^2\ge 0. Portanto basta calcular |u|^2 para obter a desigualdade desejada.
Passo 7
Calculo |u|^2 explícito. Começo expandindo o produto interno: