Corolário 2.26. (Desigualdade de Bessel) Seja \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} um conjunto ortogonal de vetores não nulos de um espaço com produto interno V. Se w é qualquer vetor de V, então
\sum_{k} \frac{\left|\left\langle w, v_{k}\right\rangle\right|^{2}}{\left|v_{k}\right|^{2}} \leqslant|w|^{2} .

Passo 1

O enunciado dá um conjunto ortogonal de vetores não nulos \{v_{1},\ldots,v_{n}\} em um espaço com produto interno V e pede para mostrar que, para qualquer vetor w\in V,
\sum_{k=1}^{n}\frac{\left|\left\langle w,v_{k}\right\rangle\right|^{2}}{\left|v_{k}\right|^{2}}\leqslant |w|^{2}.
Informações relevantes: cada v_k é não nulo, os vetores v_k são mutuamente ortogonais (isto é, \langle v_i,v_j\rangle=0 para i\neq j), e w é qualquer vetor de V. O objetivo é provar a desigualdade acima.

Passo 2

Vou definir coeficientes escalares que aparecem naturalmente na projeção de w sobre cada v_k. Para cada k defino
c_k=\frac{\langle w,v_k\rangle}{\langle v_k,v_k\rangle}=\frac{\langle w,v_k\rangle}{|v_k|^2}.
Explicação didática: \langle w,v_k\rangle mede a componente de w na direção de v_k; dividir por \langle v_k,v_k\rangle normaliza essa medida ao comprimento de v_k. Se o espaço for complexo, \langle \cdot,\cdot\rangle é conjugado linear na primeira entrada e linear na segunda (ou vice-versa, dependendo da convenção); aqui usamos a propriedade de linearidade necessária nas contas seguintes.

Passo 3

Formo o vetor
u=\sum_{k=1}^{n} c_k v_k = \sum_{k=1}^{n}\frac{\langle w,v_k\rangle}{|v_k|^2}\,v_k.
Interpretação: u é a combinação linear dos v_k com coeficientes escolhidos para captar as componentes de w nas direções dos v_k. Intuitivamente, u é a projeção de w sobre o subespaço gerado por \{v_1,\dots,v_n\}.

Passo 4

Vou mostrar que w-u é ortogonal a cada v_j. Calculo, usando linearidade do produto interno:
\langle w-u, v_j\rangle = \langle w, v_j\rangle - \left\langle \sum_{k=1}^{n} c_k v_k, v_j\right\rangle = \langle w, v_j\rangle - \sum_{k=1}^{n} c_k \langle v_k, v_j\rangle.
Como os v_k são ortogonais, \langle v_k,v_j\rangle=0 para k\neq j, e \langle v_j,v_j\rangle=|v_j|^2. Assim só o termo k=j sobra na soma, e obtemos
\langle w-u, v_j\rangle = \langle w, v_j\rangle - c_j \langle v_j, v_j\rangle = \langle w, v_j\rangle - \frac{\langle w,v_j\rangle}{|v_j|^2}\,|v_j|^2 = 0.
Portanto \langle w-u, v_j\rangle=0 para todo j, isto é, w-u é ortogonal a cada v_j, e assim ortogonal ao subespaço gerado pelos v_k.

Passo 5

Uso o teorema de Pitágoras no espaço com produto interno: se dois vetores x,y são ortogonais, então |x+y|^2=|x|^2+|y|^2. Prova rápida do teorema de Pitágoras: |x+y|^2=\langle x+y,x+y\rangle=|x|^2+|y|^2+ \langle x,y\rangle + \overline{\langle x,y\rangle}=|x|^2+|y|^2+2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle. Se \langle x,y\rangle=0 então o termo misto some e ficamos com a soma dos quadrados das normas.
Aplicando com x=w-u e y=u, e lembrando que w-u é ortogonal a cada v_k e portanto a u (pois u está no span dos v_k), obtemos
|w|^2 = |(w-u)+u|^2 = |w-u|^2 + |u|^2.

Passo 6

Da igualdade anterior segue imediatamente que
|w|^2 \ge |u|^2,
pois |w-u|^2\ge 0. Portanto basta calcular |u|^2 para obter a desigualdade desejada.

Passo 7

Calculo |u|^2 explícito. Começo expandindo o produto interno:
|u|^2 = \left\langle \sum_{k=1}^{n} c_k v_k, \sum_{j=1}^{n} c_j v_j\right\rangle = \sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} c_k \overline{c_j}\,\langle v_k,v_j\rangle.
Como os v_k são ortogonais, \langle v_k,v_j\rangle=0 para k\neq j. Assim só os termos com k=j permanecem:
|u|^2 = \sum_{k=1}^{n} c_k \overline{c_k}\,\langle v_k,v_k\rangle = \sum_{k=1}^{n} |c_k|^2\,|v_k|^2.
Agora substituo c_k=\dfrac{\langle w,v_k\rangle}{|v_k|^2}. Então
|u|^2 = \sum_{k=1}^{n} \left|\frac{\langle w,v_k\rangle}{|v_k|^2}\right|^2 |v_k|^2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{|\langle w,v_k\rangle|^2}{|v_k|^2}.
Aqui usei que |c_k|^2 = \dfrac{|\langle w,v_k\rangle|^2}{|v_k|^4}, multiplicando por |v_k|^2 dá o termo acima.

Passo 8

Juntando o resultado do Passo 6 com o cálculo do Passo 7 obtemos
|w|^2 \ge |u|^2 = \sum_{k=1}^{n}\frac{|\langle w,v_k\rangle|^2}{|v_k|^2}.
Isto é exatamente a desigualdade de Bessel que queríamos provar.

Resposta

\sum_{k=1}^{n}\frac{\left|\left\langle w,v_{k}\right\rangle\right|^{2}}{\left|v_{k}\right|^{2}}\leqslant|w|^{2}.

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